Przestrzeń Hilberta – przestrzeń unitarna zupełna.
Oznacza to, że jest to przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, która ma zdefiniowany iloczyn skalarny, traktowana jako przestrzeń metryczna z metryką indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego jest zupełna, tzn. każdy ciąg Cauchy’ego ma granicę.
Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha (z normą indukowaną przez iloczyn skalarny), przestrzenią Frécheta oraz lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną – ze względu na unormowanie i zupełność.
Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwiska Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku.
Przestrzenie Hilberta są wykorzystywane w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).
Przykłady Przestrzenie euklidesowe skończonego wymiaru (1) Należą tu np. zbiór liczb rzeczywistych nad ciałem liczb rzeczywistych, ze standardowym mnożeniem jako iloczynem skalarnym, zespolona przestrzeń euklidesowa nad ciałem liczb zespolonych z zespolonym iloczynem skalarnym (tzn. dodatnio określoną formą półtoraliniową).
Wybór iloczynu skalarnego nie wpływa na zupełność przestrzeni z indukowaną z niego metryką, co wynika z równoważności metryk (bądź norm) na przestrzeniach liniowych wymiaru skończonego nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych.
(2) W szczególności należą tu przestrzenie współrzędnych i z iloczynami skalarnymi danymi odpowiednio wzorami
gdzie: – wektory przestrzeni, oznacza sprzężenie zespolone liczby
Norma indukowana z iloczynu skalarnego dana jest wzorem
zaś metryka od niej pochodząca wyraża się wzorem
przy czym jest ona zupełna.
Przykłady klasyczne – przestrzeń Lp ciągów sumowalnych z kwadratem, – uogólnienia przestrzeni na dowolne zbiory indeksów – przestrzenie Lp zdefiniowane dla funkcji -całkowalnych z kwadratem, gdzie – dowolna miara, przestrzenie Sobolewa
Przestrzenie są szczególnymi przypadkami przestrzeni gdyż gdy jest miarą liczącą na zbiorze
Przestrzenie Sobolewa są jednym z podstawowych narzędzi w nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Przestrzenie Hardy’ego znajdują zastosowania w analizie harmonicznej i analizie zespolonej.
Przestrzenie oraz są fundamentalne dla mechaniki kwantowej.
Własności Samosprzężoność
Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta mówi, że każdemu elementowi (tj. każdemu ciągłemu funkcjonałowi liniowemu na ) odpowiada jednoznacznie taki element że
Odwzorowanie
dane wzorem
jest antyliniowym izometrycznym izomorfizmem. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: jeśli dowolny funkcjonał ograniczony określony na przestrzeni unitarnej można zapisać wzorem dla pewnego to jest przestrzenią Hilberta (tj. jest ona zupełna).
Refleksywność Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna, tj. odwzorowanie
dane wzorem
jest „na”.
Dówod. Z twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta) wynika, że istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm
Niech będzie ustalonym elementem przestrzeni Wówczas funkcjonał dany wzorem
jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu przestrzeni oraz dowolnego zachodzi:
a zatem
co oznacza, że odwzorowanie jest „na”, więc przestrzeń jest refleksywna.
Z drugiej strony, przestrzenie Hilberta są jednostajnie wypukłymi przestrzeniami Banacha, a więc na mocy twierdzenia Clarsksona-Milmana są refleksywne (jednostajna wypukłość wynika z reguły równoległoboku, która charakteryzuje przestrzenie unitarne). Przestrzenie Hilberta mają nawet mocniejszą własność – są one superrefleksywne.
Ośrodkowość
Ośrodkowe przestrzenie Hilberta (tj. zawierające przeliczalny podzbiór gęsty) mają znacząco lepsze własności od nieośrodkowych przestrzeni Hilberta: Dowolna przestrzeń unormowana nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych skończonego wymiaru jest liniowo izometryczna z pewną przestrzenią współrzędnych lub stąd można określić na nich strukturę unitarną (zob. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Ponadto wspomniane przestrzenie są zupełne i ośrodkowe (ze względu na indukowaną z iloczynu skalarnego metrykę), a więc są przestrzeniami Hilberta. Co więcej istnieje jedna i tylko jedna (z dokładnością do izomorfizmu) ośrodkowa przestrzeń Hilberta nieskończonego wymiaru: wynika to z istnienia przekształcenia unitarnego między tego rodzaju przestrzenią Hilberta a przestrzenią (mianowicie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia liniowego danego wzorem na mocy gdzie oznacza bazę ortonormalną).
Powyższe twierdzenie można uogólnić w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: przestrzeń Hilberta o ciężarze jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią w szczególności
Charakteryzacja Niech będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad ustalonym ciałem. Następujące stwierdzenia są równoważne: 1. jest przestrzenią Hilberta; 2. każda domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni ma własność najmniejszej odległości: dla każdego istnieje taki element że
przy czym oznacza rzut na podprzestrzeń 3. ma własność rozkładu ortogonalnego: dla każdej domkniętej podprzestrzeni przestrzeni zachodzi
4. ma własność reprezentacji Riesza: dowolny ciągły funkcjonał liniowy na jest postaci dla pewnego
Poszczególne implikacje mają swoje nazwy: to twierdzenie o najlepszej aproksymacji (o zbiorze wypukłym), to twierdzenie o rzucie ortogonalnym, to twierdzenie Riesza o reprezentacji;
równoważność jest treścią lematu do twierdzenia o rzucie ortogonalnym.
Z geometrycznego punktu widzenia wynika to ze wzajemnej odpowiedniości zbalansowanych zbiorów wypukłych i funkcjonałów liniowych oraz reguły równoległoboku charakteryzującej przestrzenie Hilberta wśród przestrzeni Banacha (por. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Inną tego rodzaju charakteryzacją jest następujące twierdzenie: przestrzeń Banacha jest przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów wysokości wyznaczanego przez wspomniane punkty trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Kolejne charakteryzacje można znaleźć w pracy Pełczyńskiego.
Sumy proste Skończone sumy proste (1) Jeżeli są przestrzeniami Hilberta, to ich sumą prostą nazywa się przestrzeń Hilberta, która jest sumą prostą przestrzeni ma iloczyn skalarny dany wzorem:
gdzie:
tzn. iloczyn skalarny wektorów sumy prostej jest równy sumie iloczynów skalarnych obliczonych między wektorami odpowiednich przestrzeni Hilberta.
(2) Norma elementów sumy prostej dana jest wzorem
Norma (długość) wektora sumy prostej jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.
Uwaga:
Suma prosta przestrzeni Hilberta różni się od sumy prostej przestrzeni liniowych tym, że ma dodatkowo zdefiniowany iloczyn skalarny.
Przeliczalne sumy proste Dla dowolnej przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta indeksowanej elementami zbioru sumą prostą
nazywa się przestrzeń Hilberta utworzoną ze wszystkich funkcji na zbiorze taką, że spełnione są warunki: dla każdego zbiór jest przeliczalny,
wyposażoną w normę
gdzie
Norma (długość) wektora sumy prostej przeliczalnej liczby przestrzeni Hilberta jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.
Zobacz też sumy proste przestrzeni Banacha
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Hilbert space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
Przestrzenie Hilberta