mały|Zgodnie z twierdzeniem Dulaca każdy dwuwymiarowy autonomiczny układ dynamiczny który ma periodyczną orbitę posiada obszar zarówno o dodatniej, jak i ujemnej dywergencji wewnątrz takiej orbity (tutaj odpowiednio czerwone i zielone obszary) Twierdzenie Dulaca-Benidxona dla układów dynamicznych głosi, że jeśli istnieje funkcja (zwana funkcją Dulaka) taka że:
a równość zachodzi jedynie na podzbiorze miary zero w jednospójnej przestrzeni fazowej, to wtedy autonomiczny układ dynamiczny
nie ma okresowych rozwiązań, które nie są punktami stałymi, w całości leżącymi wewnątrz obszaru.
Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane przez szwedzkiego matematyka Ivara Bendixona w 1901 roku i później udoskonalone przez Henriego Dulaca w 1923 roku, przy użyciu twierdzenia Greena.
Dowód Niech będzie funkcja taką, że w jednospójnym obszarze zachodzi
oraz że równość zachodzi na zbiorze miary zero. Niech będzie zamkniętą trajektorią wewnątrz a wnętrzem Korzystając z twierdzenia Greena otrzymujemy
Ale na zachodzi oraz zatem całka musi być równa 0. Otrzymujemy sprzeczność. Nie istnieje taka zamknięta trajektoria
Bibliografia
Kategoria:Teoria układów dynamicznych Dulaca-Bendixona