mały|prawo|300px|Diagram Eulera dla problemów P, NP, NP-zupełnych i NP-trudnych. Istnienie problemów wewnątrz NP, ale nie należących ani do P, ani do NP-zupełnych, przy założeniu, że P≠NP, zostało udowodnione przez LadneraR.E. Ladner, On the structure of polynomial time reducibility, J.ACM, 22, 1975, s. 151–171. Corollary 1.1. ACM site..
Problem NP (, niedeterministycznie wielomianowy) – problem decyzyjny, dla którego rozwiązanie można zweryfikować w czasie wielomianowym. Równoważna definicja mówi, że problem jest w klasie NP, jeśli może być rozwiązany w wielomianowym czasie na niedeterministycznej maszynie Turinga.
Różnica pomiędzy problemami P i NP polega na tym, że w przypadku P znalezienie rozwiązania ma mieć złożoność wielomianową, podczas gdy dla NP sprawdzenie podanego z zewnątrz rozwiązania ma mieć taką złożoność.
Przykładowy problem: Czy jakikolwiek niepusty podzbiór zadanego zbioru (np. ) sumuje się do zera?
Trudno znaleźć rozwiązanie tego zagadnienia w czasie wielomianowym. Nasuwający się algorytm sprawdzenia wszystkich możliwych podzbiorów ma złożoność wykładniczą ze względu na liczebność zbioru. Nie wiadomo zatem, czy problem ten jest klasy P. Na pewno natomiast uzyskawszy z zewnątrz kandydata na rozwiązanie (np. ) możemy w liniowym (a zatem wielomianowym) czasie sprawdzić, czy sumuje się do zera. Jest to zatem problem NP.
W szczególności wszystkie problemy klasy P są NP, ponieważ można je sprawdzić w czasie wielomianowym. Innymi słowy, klasa P zawiera się nieostro w NP Nie wiadomo natomiast, czy istnieje problem NP, który nie jest w klasie P (czyli, czy P różni się od NP lub inaczej albo ). Jest to jeden z problemów milenijnych.
Prognozy na rozwiązanie Podejmowano kilka prób oszacowania, kiedy ten problem może być rozstrzygnięty: W 2000 roku Buss przewidywał, że zostanie potwierdzone w ciągu 20 lat. W 2001http://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/poll2012.pdf roku 40 spośród 97 ekspertów było przekonanych, że problem ten zostanie rozwiązany do 2039 roku, a 57, że do roku 2070http://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/poll.pdf. Według New Scientist z 2010 roku istnieje 50% szans na rozwiązanie problemu przed 2024 rokiem, gdyż 9 spośród 18 badanych hipotez udowodniono, zanim upłynęły 54 lata od ich postawienia2011 preview: Million-dollar mathematics problem | New Scientist.. Zgodnie z ankietą z 2011 roku wśród 152 ekspertów 53% z nich uważa, iż problem zostanie rozwiązany przed 2100 rokiem, a 41%, że po nim. W 2012 roku analiza 144 hipotez matematycznych (w tym tych nieudowodnionych) uwzględniająca wzrost liczby matematyków oraz coraz lepszy przepływ wiedzy pomiędzy nimi wykazała, że szansa na rozwiązanie problemu przed 2024 rokiem to 41%http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1202/1202.3936.pdf.
Definicja formalna Klasa złożoności NP może być zdefiniowana w kategorii klas NTIME(f(n)) w następujący sposób:
Alternatywnie, klasę NP można zdefiniować w kontekście deterministycznych maszyn Turinga. Powiemy, że język należy do NP wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją wielomiany i , oraz deterministyczna maszyna Turinga , taka że: dla dowolnych i , maszyna , mając podaną na wejściu parę (, ), kończy działanie w nie więcej niż () krokach, dla dowolnego należącego do , istnieje słowo długości nie większej niż (), takie że maszyna akceptuje słowo wejściowe (, ), dla dowolnego nienależącego do oraz dowolnego o długości nie większej niż (), maszyna odrzuca słowo wejściowe (, ).
Wprowadzenie Wiele naturalnych problemów algorytmicznych znajduje się w klasie złożoności NP. W szczególności, decyzyjne wersje wielu interesujących problemów przeszukiwania oraz problemów optymalizacyjnych należą do NP.
Definicja bazująca na weryfikatorach W celu wyjaśnienia definicji klasy NP bazującej na weryfikatorach przeanalizujemy problem sumy podzbioru:
Mając dany skończony zbiór składający się wyłącznie z liczb całkowitych (na przykład {−7, −3, −2, 5, 8}), rozstrzygnąć, czy istnieje taki jego niepusty podzbiór, którego elementy sumują się do zera (w naszym przykładzie odpowiedź jest pozytywna, gdyż podzbiorowi {-3, -2, 5} odpowiada suma ).
Moglibyśmy zaproponować algorytm rozwiązujący powyższy problem, a bazujący na sprawdzaniu wszystkich możliwych podzbiorów. Niestety, liczba podzbiorów, a tym samym czas obliczeń, rośnie wykładniczo w stosunku do rozmiaru podanego zbioru. Zauważmy jednak, że mając podany pewien podzbiór, możemy łatwo sprawdzić, czy suma jego elementów wynosi zero. Jeśli tak jest, mówimy, że dany zbiór jest świadkiem faktu, że odpowiedź na zadany problem jest pozytywna. Algorytm sprawdzający, czy elementy zadanego zbioru sumują się do zera, nazywamy natomiast weryfikatorem.
Bardziej ogólnie, mówimy, że problem obliczeniowy należy do NP, jeśli istnieje dla niego weryfikator . Mając dowolny egzemplarz problemu , dla którego odpowiedź jest pozytywna, musi istnieć świadek , taki że akceptuje słowo wejściowe (, ) w czasie wielomianowym. Co więcej, jeśli odpowiedź na jest negatywna, weryfikator odrzuci słowo (, ) dla wszystkich możliwych . Zauważ, że weryfikator może odrzucić wejście nawet, gdy odpowiedź jest pozytywna, jeśli tylko nie jest poprawnym świadkiem. Dla przykładu, w przypadku problemu sumy podzbioru, jeśli istnieje podzbiór, którego elementy sumują się do zera, ale jako świadek wybrany zostanie inny podzbiór, dla którego nie jest to prawdą, weryfikator odrzuci słowo wejściowe. Jeśli jednak nie istnieje podzbiór o zerowej sumie, weryfikator będzie odrzucał wejście niezależnie od wyboru świadka. Ponadto w przypadku tego problemu, weryfikator działa w czasie wielomianowym (potrzeba jedynie sprawdzić, czy faktycznie jest podzbiorem oraz czy suma jego elementów jest zerowa), a zatem problem sumy podzbioru należy do klasy NP.
Dopełnienie przytoczonego problemu obliczeniowego może zostać sformułowane w następujący sposób: Mając dany skończony zbiór liczb całkowitych, rozstrzygnąć, czy dowolny jego niepusty podzbiór ma niezerową sumę. Definicja bazująca na weryfikatorach nie wymaga istnienia żadnego łatwego do zweryfikowania świadka dla odpowiedzi negatywnej. Klasę problemów obliczeniowych z takimi świadkami nazywamy co-NP. Problemem otwartym jest czy dla dowolnego problemu obliczeniowego w klasie NP istnieją świadkowie odpowiedzi negatywnych, a zatem czy zawierają się one w co-NP.
Definicja bazująca na maszynach Turinga Następująca definicja jest równoważna definicji bazującej na weryfikatorach: Klasa złożoności NP jest zbiorem problemów decyzyjnych rozpoznawanych przez niedeterministyczną maszynę Turinga działającą w czasie wielomianowym (oznacza to, że jeśli słowo należy do języka to istnieje przebieg akceptujący – klasa co-NP jest zdefiniowana analogicznie w kategorii ścieżek odrzucających). Równoważność powyższej definicji z tą bazującą na weryfikatorach opiera się na fakcie, że niedeterministyczna maszyna Turinga można rozwiązać problem z klasy NP w czasie wielomianowym poprzez niedeterministyczny wybór świadka oraz symulację na nim weryfikatora. Z drugiej strony, jeśli istnieje niedeterministyczna maszyna rozwiązująca pewien problem z NP, możemy łatwo skonstruować weryfikator dla tego problemu. Będzie on w deterministyczny sposób symulował pewien przebieg maszyny , korzystając ze świadka za każdym razem, gdy należy dokonać niedeterministycznego wyboru.
Przykłady Poniżej znajduje się niekompletna lista problemów znajdujących się w klasie NP.
Wszystkie problemy z klasy P (Dla dowolnego świadka weryfikator może go zignorować i rozwiązać problem w czasie wielomianowym. Alternatywnie, deterministyczna maszyna Turinga jest jednocześnie przypadkiem szczególnym maszyny niedeterministycznej.) Wersja decyzyjna problemu faktoryzacji: mając dane liczby naturalne oraz , rozstrzygnąć, czy istnieje dzielnik liczby , taki że 1 < < . Problem izomorfizmu grafów. Wszystkie problemy NP-zupełne, między innymi: Problem komiwojażera, polegający na znalezieniu cyklu o minimalnej sumie wag, zawierającego wszystkie wierzchołki grafu Problem spełnialności: mając daną formułę logiczną, rozstrzygnąć, czy istnieje takie wartościowanie zmiennych zdaniowych, żeby formuła była prawdziwa.
Własności Klasa NP jest zamknięta na: sumę zbiorów przecięcie zbiorów konkatenację domknięcie Kleene’ego odwrotność
Nie jest wiadome, czy NP jest zamknięte na dopełnienie (jest to tak zwany problem NP vs. co-NP).
Dlaczego niektóre problemy NP są trudne Ponieważ w klasie tej znajduje się wiele istotnych problemów, podjęte zostały intensywne prace nad znalezieniem algorytmów działających w czasie wielomianowym rozwiązujących problemy NP. Niemniej jednak, w klasie NP wciąż pozostało wiele problemów, dla których nie udało się opracować takich algorytmów i wydają się one wymagać superwielomianowego czasu obliczeń. Zagadnienie, czy wszystkie takie problemy da się rozwiązać w czasie wielomianowym jest jednym z najważniejszych pytań informatyki (jest to tak zwany problem P vs NP).
Ważnym dla tego problemu pojęciem jest klasa problemów NP-zupełnych, która jest podzbiorem NP i może być nieformalnie rozumiana jako zbiór „najtrudniejszych” problemów NP. Jeśli istnieje wielomianowy algorytm rozwiązujący pewien problem NP-zupełny, to dowolny problem NP można rozwiązać w czasie wielomianowym. W związku z tym, oraz z powodu wielu przeprowadzonych badań skupiających się na znalezieniu wielomianowych rozwiązań dla problemów NP-zupełnych, które zakończyły się niepowodzeniem, jeśli dla danego problemu zostanie udowodnione, że jest on NP-zupełny, to jest wielce prawdopodobne, że nie istnieje dla niego algorytm wielomianowy.
Tym niemniej, dla niektórych problemów NP istnieją algorytmy wielomianowe, które dają rozwiązanie nieoptymalne, ale często wystarczająco dobre. Ponadto rzeczywiste przypadki niektórych problemów są łatwiejsze do rozwiązania niż ich teoretyczne odpowiedniki.
Równoważność definicji Obie definicje klasy złożoności obliczeniowej NP – ta przedstawiająca ją jako zbiór języków akceptowanych przez niedeterministyczne maszyny Turinga w czasie wielomianowej, oraz ta mówiąca, że są to problemy o rozwiązaniach weryfikowalnych przez deterministyczną maszynę Turinga – są sobie równoważne.
W celu udowodnienia tego faktu przyjmijmy najpierw, że mamy deterministyczny weryfikator. Niedeterministyczna maszyna Turinga może w prosty sposób zasymulować działanie tego weryfikatora na słowie wejściowym oraz wszystkich możliwych świadkach. Wymaga to tylko wielomianowo wiele kroków, ponieważ wybór kolejnego znaku świadka odbywa się w sposób niedeterministyczny, a długość świadka musi być ograniczona z góry przez wielomian względem długości słowa wejściowego. Jeśli dla danego słowa wejściowego istnieje jakikolwiek poprawny świadek, będzie również istniał akceptujący przebieg niedeterministycznej maszyny. Natomiast jeśli świadek nie istnieje, to znaczy, że wszystkie przebiegi maszyny odrzucą słowo wejściowe. Z poprawności weryfikatora wiemy jednak, że słowo takie nie należy do rozważanego języka.
Z drugiej strony, przypuśćmy, że mamy daną niedeterministyczną maszynę Turinga akceptującą język w czasie wielomianowym. W każdym z wielomianowo wielu kroków drzewo obliczeń maszyny może rozgałęziać się na co najwyżej skończoną liczbę różnych przebiegów. Dla danego słowa wejściowego możemy zatem zakodować przebiegi maszyny przy użyciu słów o długości ograniczonej wielomianem względem długości wejścia. Weryfikator może zatem dla podanej na wejściu pary (, ) symulować przebieg maszyny na słowie wejściowym . Jeśli każdy przebieg maszyny odrzucał , nie będzie istniał poprawny świadek. Jeśli natomiast maszyna akceptowała to słowo w pewnym przebiegu, to jego kodowanie będzie poprawnym świadkiem.
Powiązania z innymi klasami złożoności
Fakt ten wynika wprost z faktu, że deterministyczna maszyna Turinga jest szczególnym przypadkiem maszyny niedeterministycznej