thumb|Sekwencja obrazów ECT – obiekt wykonany ze szkła akrylowego, obracający się wewnątrz sondy pomiarowej thumb|System pomiarowy – Tomograf pojemnościowy z podłączoną 16-elektrodową sondą Elektryczna tomografia pojemnościowa (ang. electrical capacitance tomography – ECT) – technika obrazowania pozwalająca na wizualizację przestrzennego rozkładu przenikalności elektrycznej w badanej objętości. Obraz przestrzennego rozkładu przenikalności elektrycznej jest rekonstruowany na podstawie pomiarów pojemności wzajemnych elektrod powierzchniowych otaczających badaną objętość.

Technika ta na tle innych tomografii wyróżnia się bardzo dużą częstością pomiarów, dzięki czemu umożliwia obrazowanie zjawisk dynamicznych. Duża liczba obrazów na sekundę, skalowalność sondy pojemnościowej, jak również możliwość wbudowania sondy w instalację przemysłową sprawia, że technika ta znajduje zastosowanie w monitorowaniu procesów dynamicznych i jest zaliczana do technik tomografii procesowej. Ze względu na bardzo małą rozdzielczość przestrzenną, ECT nie znalazła jak dotąd zastosowania w diagnostyce medycznej. Potencjalnie ECT może mieć podobne medyczne zastosowania co elektryczna tomografia impedancyjna, takie jak monitorowanie pracy płuc lub wykrywanie niedokrwienia lub krwotoku w mózgu.

Chociaż w XX wieku metody pomiaru pojemności były w powszechnym użyciu, pomysł wykorzystania ich jako metody obrazowania przypisuje się zespołowi badawczemu pod przewodnictwem Maurice’a Becka z Instytutu Naukowo-Technicznego Uniwersytetu w Manchesterze (dziś Uniwersytet Manchesterski). Grupa ta, którą współtworzył również polski naukowiec Andrzej Pląskowski, w latach 80 opublikowała pierwszy artykuł naukowy na temat elektrycznej tomografii pojemnościowej.

Pomiar małych pojemności Pojemność wzajemna elektrod mierzona w elektrycznej tomografii pojemnościowej jest na poziomie ułamków femtofaradów. Pomiar tak małych wartości jest dużym wyzwaniem dla układów elektronicznych. Powinny one być nieczułe na pojemności pasożytnicze i mieć szum własny zredukowany do minimum. Wskazane jest również ekranowanie układów, aby ograniczyć wpływ zewnętrznego pola elektrycznego.

Metoda z pobudzeniem sinusoidalnym W metodzie z pobudzeniem sinusoidalnym, nazywanej również metodą AC, na mierzoną pojemność, podłączoną szeregowo, podawane jest napięcie przemienne. Pomiar odbywa się przy pomocy wzmacniacza prądu zmiennego. Wzmocniony sygnał jest następnie mieszany z sygnałem o częstotliwości napięcia pobudzającego (detekcja synchroniczna). Sygnały o tej samej częstotliwości i będące w zgodnej fazie dają po zmieszaniu napięcie stałe. Uzyskany sygnał wygładzany jest filtrem dolnoprzepustowym, w efekcie uzyskuje się stałe napięcie o amplitudzie wprost proporcjonalnej do mierzonej pojemności. Wolne zmiany napięcia są traktowane jako zmiany pojemności. Detekcja synchroniczna charakteryzuje się wysokim stosunkiem sygnału do szumu. Wadą tej metody jest względnie mała prędkość pomiaru, zależna od częstotliwości sygnału pobudzającego oraz częstotliwości granicznej filtru dolnoprzepustowego.

Metoda z pobudzeniem impulsowym Metoda z pobudzeniem impulsowym polega na cyklicznym ładowaniu i rozładowaniu mierzonej pojemności. Impulsy prądu ładowania i rozładowania są całkowane w dwóch układach całkujących przełączanych za pomocą kluczy analogowych synchronicznie z prostokątnym sygnałem wymuszającym. Napięcie na integratorach jest proporcjonalne do mierzonej pojemności. Obie wartości są sumowane za pomocą wzmacniacza pomiarowego. Metoda ta jest bardzo szybka i minimalizuje wpływ zakłóceń zewnętrznych. Dla uzyskania mierzalnego sygnału stosuje się uśrednianie.

Szczególnym przykładem pomiaru impulsowego jest metoda polegająca na pobudzaniu elektrod napięciem rzędu kilkuset woltów. Sygnał pobudzenia poprzez pojemność mierzoną trafia na wzmacniacz pomiarowy. Mierzone napięcie jest proporcjonalne do sygnału pobudzającego i badanej pojemności. Zastosowanie stosunkowo wysokiego dla elektroniki pomiarowej napięcia wymuszenia zwiększa mierzony sygnał i poprawia SNR.

Sekwencja pomiarowa thumb|Schemat przykładowej sondy pomiarowej thumb|Pierścień elektrod zamocowanych do rury PCW W elektrycznej tomografii pojemnościowej typowo stosuje się wielokanałowe systemy pomiarowe, w których do każdej elektrody pomiarowej przyłączony jest osobny układ odbiorczy. Jedna z elektrod pełni funkcję elektrody nadawczej, a na wszystkich pozostałych elektrodach jednocześnie odbywa się pomiar. Tomograficzna sonda pod względem elektrycznym jest układem kondensatorów, w którym rolę okładki dodatniej pełni elektroda nadawcza, a pozostałe elektrody wspólnie są okładkami ujemnymi. Trudnością tak dokonywanych pomiarów jest duży zakres mierzonych wartości. Pojemności wzajemne elektrod przyległych do elektrody nadawczej sięgają pikofaradów, podczas gdy dla elektrod przeciwległych do elektrody nadawczej nie przekraczają ułamków femtofaradów. Z tego powodu przed każdym pomiarem we wszystkich układach odbiorczych w zależności od ułożenia względem elektrody nadawczej ustawiane są odpowiednie poziomy wzmocnień. Każda z elektrod po kolei pełni funkcję elektrody nadawczej, aż do uzyskania wszystkich dostępnych kombinacji. Liczba pomiarów jest równa dwuelementowej kombinacji z L-elementowego zbioru gdzie to liczba elektrod pomiarowych. Jeżeli wykorzystywane są również powtórzenia pomiarów dla par elektrod ze zamianą elektrody wymuszającej, liczbę uzyskiwanych pomiarów mnoży przez liczbę permutacji, czyli zwiększa się dwa razy.

Przy założeniu, że w obrazowanej przestrzeni zachodzi przepływ laminarny o znanej prędkości, możliwe jest składanie wielu zrekonstruowanych obrazów dwuwymiarowych z następujących po sobie pomiarów w jeden obraz objętościowy. Takie działanie określa się mianem tomografii dwuipółwymiarowej. W ECT możliwe jest również uzyskiwanie obrazów trójwymiarowych. W tym celu stosuje się sondy wyposażone w wiele równoległych pierścieni elektrod, między którymi odbywa się pomiar.

Rekonstrukcja obrazu Wartości mierzonych pojemności wzajemnych są silnie związane ze stosunkiem powierzchni elektrod do średnicy sondy pomiarowej. Zmniejszanie szerokości elektrod nie może być równoważone zwiększaniem ich wysokości, gdyż pogarszałoby to zdolność rozdzielczą tomografu w osi Z cylindra pomiarowego. Ze względu na ograniczone możliwości układów pomiarowych (najmniejsze mierzalne pojemności są na poziomie ułamków femtofaradów), niemożliwe jest dowolne zwiększanie liczby elektrod. W praktyce nie stosuje się więc więcej niż 16 elektrod pomiarowych w jednym pierścieniu. Tak mocno ograniczona liczba elektrod skutkuje małą liczbą uzyskiwanych pomiarów.

Rekonstrukcja obrazów z projekcji, gdy mamy stosunkowo mały zbiór pomiarów jest bardzo trudna, problem odwrotny jest niedookreślony (nieoznaczony układ równań). W efekcie rozdzielczość przestrzenna tej techniki jest słaba w porównaniu do innych metod tomograficznych.

Problem prosty Problem prosty polega na wyznaczeniu wyniku obserwacji w danym modelu dla założonych danych wejściowych. W ECT, znając model dla przyjętego rozkładu przestrzennego przenikalności elektrycznej, można wyznaczyć wartości pomiarów pojemności.

Pomiar można opisać równaniem: gdzie to wektor pomiarów pojemności, a oznacza nielinową, wektorową funkcję rozkładu przenikalności opisywanego wektorem Korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora, nielinową funkcję można przybliżyć modelem liniowym gdzie

jest macierzą pochodnych cząstkowych. jest nazywana macierzą wrażliwości, ponieważ jej współczynniki określają wpływ zmiany wartości przenikalności elektrycznej w małym elemencie objętości sondy pomiarowej na pojemności wzajemne jej elektrod. Macierzy wrażliwości można wyznaczyć metodą zaburzeń eksperymentalnie lub w symulacji numerycznej.

Dla założonego rozkładu przenikalności elektrycznej wyznacza się rozkład potencjału elektrycznego w sondzie pomiarowej. Korzysta się w tym celu z jednej z metod numerycznego rozwiązywania problemów brzegowych, takich jak metoda różnic skończonych, metoda elementów skończonych lub metoda objętości skończonych. Korzystając z prawa Gaussa, wyznacza się ładunek na jednej z elektrod pomiarowych. Znając różnicę potencjału pomiędzy elektrodami i można wyznaczyć pojemność wzajemną -tej pary elektrod Dla rozkładu przenikalności, w którym wprowadza się małe zaburzenie w małym -tym elemencie objętości, powtarza się obliczenia numeryczne dla wyznaczenia nowej wartości pojemności i stąd wyznacza się zmianę pojemności Powtarzając symulacje numeryczne dla kolejnych par elektrod i kolejnych elementów objętości uzyskuje się pochodne cząstkowe

W praktyce ze względu na konieczność powtórzenia symulacji numerycznych, macierzy wrażliwości nie wyznacza się tą metodą, lecz korzysta się ze wzoru Geselowitza:

gdzie: – pojemność mierzona między elektrodami i – wartość przenikalności elektrycznej w punkcie o indeksie – różnica potencjału między elektrodami i – wektor opisujący rozkład potencjału w punktach siatki dyskretnej, gdy elektroda jest źródłem dodatniego wymuszenia, – wektor opisujący rozkład potencjału, gdy elektroda jest źródłem dodatniego wymuszenia.

Korzystając z powyższego wzoru, wyprowadzonego z teorii impedancji wzajemnej, rozkład potencjału jest wyznaczany -razy, gdzie jest liczbą elektrod sondy.

Problem odwrotny Problem odwrotny w ECT polega na wyznaczeniu rozkładu przenikalności elektrycznej na podstawie zmierzonych pojemności W rekonstrukcji obrazów można posłużyć się metodami rozwiązującymi problem nieliniowy albo przybliżony model liniowy.

W przypadku przybliżenia liniowego nieznaną wartość wektora wyznacza się na podstawie wektora pomiarów przy założeniu wartości modelu W rzeczywistości macierz wrażliwości nie jest znana, gdyż wyznaczenie jej współczynników wymaga znajomości rozkładu przenikalności Zakładając, że szukany rozkład przenikalności elektrycznej nieznacznie różni się od rozkładu równomiernego, możliwe jest zastosowanie w modelu liniowym przybliżenia macierzy wrażliwości wyznaczonej dla rozkładu równomiernego.

Dodatkowo problem odwrotny jest problemem źle postawionym. Ze względu na małą liczbę elektrod liczba pomiarów jest mała, mniejsza od liczby punktów przestrzeni, w których wyznaczana jest wartość przenikalności. Zwyczajowo przyjmuje się, że matryca obrazu reprezentującego dwuwymiarowy rozkład przenikalności nie powinna być mniejsza niż 32×32 piksele. W takiej sytuacji układ równań jest niedookreślony, a macierz wrażliwości nie jest kwadratowa. Ponieważ w modelu liniowym występującym w ECT ten układ równań jest nieoznaczony i ma wiele rozwiązań, konieczne jest zastosowanie dodatkowego kryterium pozwalającego uzyskać unikalne rozwiązanie.

Podstawową metodą rozwiązanie tego problemu jest wybór rozwiązania o najmniejszej normie:

spełniającego równanie Rozwiązanie tego problemu optymalizacyjnego dane jest wzorem (prawa pseudoodwrotność Moore’a-Penrose’a):