mały|Wykres funkcji gamma mały|Czy istnieją inne funkcje niż funkcja gamma, które interpolują funkcję silnia dla dowolnych liczb rzeczywistych?
Funkcja gamma (zwana też funkcją gamma Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych.
Definicje Całkowa Jeżeli – część rzeczywista liczby zespolonej jest dodatnia, to
– tzw. całka Eulera 2 rodzaju (całka Eulera 1 rodzaju – to funkcja Beta)
Iloczynowa Dla dowolnych liczb zespolonych mamy
Motywacja Funkcja gamma może być postrzegana jako rozwiązanie następującego problemu interpolacji: „Znajdź gładką krzywą, która łączy punkty dane przez funkcję która jest określona dla dodatnich liczb całkowitych ”.
Wzór nie może być użyty dla niecałkowitych wartości ponieważ jest ważny tylko wtedy, gdy jest liczbą naturalną.
Funkcja gamma jest dobrym rozwiązaniem, jednak nie jest to jedyne rozwiązanie: istnieje bowiem nieskończenie wiele ciągłych rozszerzeń funkcji silnia na liczby niecałkowite, gdyż przez zbiór izolowanych punktów (jaki tworzy wykres funkcji silnia) można narysować nieskończenie wiele różnych krzywych.
Funkcja gamma jest najbardziej użytecznym rozwiązaniem w praktyce, ponieważ jest funkcją analityczną (z wyjątkiem niedodatnich liczb całkowitych) i można ją zdefiniować na kilka równoważnych sposobów.
Nie jest to także jedyna funkcja analityczna, która rozszerza silnię, ponieważ dodanie do niej dowolnej funkcji analitycznej, która zeruje się dla dodatnich liczb całkowitych, takich jak gdzie – liczba całkowita, da inną funkcję interpolującą silnię. Takie funkcje nazywa się funkcjami pseudogamma. Najbardziej znaną jest .
Własności funkcji Gamma mały|Dwa dobre uogólnienia analityczne funkcji silnia na zbiór liczb rzeczywistych: funkcja – wykres niebieski oraz funkcja – wykres zielony. Obie te funkcje przecinają się dla liczb naturalnych.
Tw. Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych (por. wykres)
Tw.
Tw. ,
gdzie – zbiór liczb naturalnych,
tzn. funkcja gamma ma wartości identyczne jak silnia dla liczb naturalnych.
Tw. Dla mamy
gdzie !! oznacza silnię podwójną, a oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.
Tw.
Dowód – metodą całkowania przez części.
Tw.
Tw. Jeżeli mianownik jest niezerowy, to:
Tw. Jeśli to:
Tw. Jeśli to:
Tw. Wzór iloczynowy Gaussa:
Wybrane wartości funkcji Gamma + Tabela wartości funkcji gamma −2,500 −2 −1,500 −1 −0,500 0 0,143 0,167 0,200 0,250 0,333 0,500 1 0! = 1 1,500 2 1! = 1 2,500 3 2! = 2 3,500 4 3! = 6
Dla funkcja ma minimum lokalne - jest to jedyne minimum dla liczb , takich że ; dla moduł funkcji rośnie nieograniczenie do .
Funkcja nie jest określona dla – ma tam bieguny o residuum
Wykres funkcji zespolonej – techniki wizualizacji Wykres funkcji rzeczywistej można narysować w 2 wymiarach. Wykres funkcji zespolonej, mającej zarówno zespoloną dziedzinę, jak i zespolony zbiór wartości, wymagałby 4 wymiarów. Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu jest metoda wizualizacji za pomocą powierzchni Riemanna; inną metodą jest technika kolorowanie dziedziny. thumb|center|372x372px|Wykres funkcji zespolonej oś x – części rzeczywiste liczb zespolonych postaci oś y – części urojone tych liczb, oś z – tj. moduł funkcji gamma; kolor – zależy od tj. od wartości argumentu funkcji gamma.
Odwrotność funkcji gamma
gdzie γ to stała Eulera-Mascheroniego.
Odwrotność funkcji gamma jest określona na całej płaszczyźnie zespolonej, gdyż funkcja nie ma miejsc zerowych – taką funkcję nazywa się funkcją całkowitą.
Logarytmiczna pochodna funkcji gamma thumb|251x251px|Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma Df. Logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją digamma nazywa się funkcję postaci
gdzie
Tw.
gdzie – stała Eulera-Mascheroniego
Tw.
Tw. Dla słuszne jest przybliżenie:
Funkcja poligamma Df. Funkcją poligamma n-tego rzędu nazywamy pochodną funkcji tj.
Wtedy:
Df. Funkcją tri-gamma (lub trój-gamma) nazywa się funkcją
Zastosowania funkcji gamma Funkcja gamma ma ogromnie liczne zastosowania (sekcja wymaga rozwinięcia) Na funkcji gamma opiera się symbol Pochhammera. Wzór na objętość n-wymiarowej hipersfery: .
Zobacz też funkcja beta funkcje specjalne
Przypisy
Bibliografia I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2010, s. 192–193.
Linki zewnętrzne
Kalkulator online Kalkulator funkcji gamma online https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451 Kalkulator odwrotnej funkcji gamma online https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451 Kalkulator funkcji ln gamma online https://keisan.casio.com/exec/system/1180573451
Kategoria:Funkcje specjalne Kategoria:Analiza zespolona