Macierze γ, macierze Diraca – zbiór czterech macierzy zespolonych stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.
Macierze gamma Macierze są zdefiniowane za pomocą 16 równań
gdzie:
– element tensora metrycznego czasoprzestrzeni (przy czym np. ) – macierz jednostkowa 4 × 4 – antykomutator A i B.
Powyższe warunki można zapisać w równoważnej formie:
gdzie:
Warunki określające macierze gamma wyprowadza się żądając m.in., by równanie Diraca spełniało jednocześnie równanie Kleina-Gordona. Warunki te nie definiują konkretnej postaci macierzy – każda reprezentacja spełniająca je jest dobra.
Powyższe macierze zapisane są z górnymi wskaźnikami. Nazywa się je kontrawariantnymi macierzami gamma.
Macierze Kowariantne macierze gamma są zdefiniowane następująco:
gdzie
i sumacyjna reguła Einsteina jest tu założona.
Reprezentacje macierzy gamma Najpopularniejszymi reprezentacjami są:
Reprezentacja Pauliego-Diraca Zaproponowana przez Wolfganga Pauliego i Paula Diraca – macierze γ wyrażają się tu przez macierze Pauliego:
gdzie oznacza tu macierz jednostkową 2 × 2. Uwzględniając postacie macierzy Pauliego otrzymamy:
Macierz jest zawsze macierzą hermitowską. Macierze w tej reprezentacji są macierzami antyhermitowskimi, lecz nie jest tak w każdej reprezentacji.
Reprezentacja Weyla (chiralna) Stosowana często w kwantowej teorii pola ze względu na wygodną postać operatorów rzutu na składowe spinora w tej reprezentacji:
Macierz γ5 Macierz γ5 jest zdefiniowana jako
gdzie oznacza jednostkę urojoną; macierz ta ma różną postać w zależności od reprezentacji. Np. w reprezentacji Diraca.
Właściwości: jest to macierz hermitowska, tj.
jej wartości własne są równe gdyż
antykomutuje z czterema macierzami gamma, tj.
Pomimo że używa się tu symbolu gamma, macierz ta nie należy do algebry Clifforda Cℓ1,3(R) – zaś macierze należą do tej algebry. Ponadto liczba 5 użyta w jej oznaczeniu jest pozostałością starszej notacji, w której macierz oznaczano jako
Macierze alfa, beta Diraca Równanie Diraca można przekształcić do postaci analogicznej do równania Schrödingera, wprowadzając macierze
Zachodzi też analogiczna odwrotna zależność:
W reprezentacji Diraca macierze te mają postać
Macierze alfa, beta Diraca są macierzami hermitowskimi.
Zobacz też macierze Pauliego równanie Diraca
Przypisy
Linki zewnętrzne
Dirac matrices , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].
Kategoria:Mechanika kwantowa Kategoria:Przykłady macierzy kwadratowych