Jedynka trygonometryczna – tożsamość trygonometryczna postaci Tomasz Wójtowicz, Jedynka trygonometryczna, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-03-23].:
Jest ona prawdziwa dla wszystkich rzeczywistych miar kąta skierowanego a także ogólniej dla argumentów zespolonych: . Istnieją też dwie inne odmiany tego wzoru:
Dowody Sposób 1 mały|260px|Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus to współrzędne kartezjańskie punktu na okręgu jednostkowym mały|260px|Dowód jedynki trygonometrycznej przez twierdzenie Pitagorasa
Niech
Zauważmy, że:
więc trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej
Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:
Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie
jest równe
Zatem
q.e.d.
Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.
Sposób 2
Ze wzoru Eulera:
oraz
Zatem
q.e.d.
Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.
Sposób 3
Niech:
Zauważmy, że:
Także:
Skoro pochodna funkcji jest równa 0, to funkcja musi być funkcją stałą.
Wiedząc, że oraz że funkcja jest funkcją stałą, możemy dojść do wniosku, że
q.e.d.
Zobacz też funkcje trygonometryczne jedynka hiperboliczna
Przypisy
Linki zewnętrzne Jacek Dymel, Tożsamości trygonometryczne, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-05-02] – wykład z zadaniami. Przegląd jedynki trygonometrycznej, Khan Academy, khanacademy.org [dostęp 2025-04-30]. Szymon Charzyński, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2025-04-30]: Jedynka trygonometryczna i okrąg jednostkowy, 11 lutego 2014. Zastosowanie jedynki trygonometrycznej, 11 lutego 2014.
Kategoria:Twierdzenia trygonometrii Kategoria:Tożsamości matematyczne