Porządek ciągły – własność porządków liniowych po raz pierwszy rozważana przez Richarda Dedekinda w 1872Richard Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872.; jest ona wzmocnieniem zupełności i w terminach topologicznych jest równoważna spójności topologii przedziałowej.

Nazwa Nazwa porządek ciągły wskazuje na motywację, jaką było opisanie i konstrukcja prostej rzeczywistej jako obiektu ciągłego podana przez Dedekinda w jego pracy z 1872. Wprowadzone przez niego warunki (i)-(iv) są, we współczesnym języku, stwierdzeniem że porządek liczb rzeczywistych jest ciągły (a kluczowa własność (iv) ma właśnie nazwę ciągłości).

W literaturze polskojęzycznej termin ten jest używany dość systematycznie. We współczesnej literaturze angielskojęzycznej częściej używa się bardziej opisowego określenia gęsty zupełny porządek liniowy (complete dense linear order).

Porządek ciągły to taki gęsty porządek liniowy A w którym żadne właściwe cięcie w A nie ustala skoku w danym zbiorze A. Brak skoków jest powodem dla którego mówimy, że zbiór jest uporządkowany ciągle.

Definicje formalne Niech będzie porządkiem liniowym. Porządek jest porządkiem gęstym jeśli A ma przynajmniej dwa elementy oraz między dowolnymi dwoma elementami A znajduje się trzeci element, tzn. Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości [w:] Logika i teoria mnogości, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl, 12 września 2023 [dostęp 2026-02-04]. Halszka Tutaj-Gasińska, Elementarna teoria mnogości (plik PDF), Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego (IM UJ), im.uj.edu.pl, Kraków 2021, s. 35 [dostęp 2025-11-23].:

Podzbiór porządku A jest ograniczony z góry jeśli istnieje element większy niż wszystkie elementy zbioru B, tzn. taki, że

Analogicznie podzbiór jest ograniczony z dołu jeśli istnieje element taki, że

Porządek jest ciągły jeśli jest to porządek gęsty oraz każdy podzbiór zbioru A jest ograniczony, tzn. ograniczony z góry i z dołu, czyli ma zarówno kres górny, jak i dolny.

Zobacz też aksjomat ciągłości przekrój Dedekinda

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Kategoria:Własności porządków Kategoria:Liczby rzeczywiste