mały|Czworokąt wpisany w okrąg. Wzór Brahmagupty – wzór pozwalający obliczyć pole czworokąta wpisanego w okrąg (czworokąta cyklicznego), korzystając wyłącznie z długości jego boków:
,
gdzie:
– pole powierzchni czworokąta, – długości boków, – połowa obwodu czworokąta, tzw. półobwód:.
Wzór ten jest uogólnieniem wzoru Herona na przypadek czworokąta wpisanego w okrąg. Został podany przez indyjskiego matematyka Brahmaguptę w VII wieku.
Dowód mały|Rysunek do dowodu wzoru Brahmagupty. Dowód wzoru Brahmagupty można przeprowadzić, korzystając z uogólnienia wzoru Herona oraz własności czworokąta wpisanego w okrąg.
Rozważmy czworokąt wpisany w okrąg o bokach . Podzielmy go przekątną na dwa trójkąty o wspólnej przekątnej . Oznaczmy kąty między bokami oraz odpowiednio przez i . Ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, zachodzi:
.
Pole czworokąta jest sumą pól dwóch trójkątów:
.
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta przez dwa boki i kąt między nimi, mamy:
, .
Zatem:
.
Ponieważ , mamy , więc:
.
Aby wyeliminować , zastosujemy twierdzenie cosinusów w obu trójkątach:
, .
Ponieważ , otrzymujemy:
.
Porównując oba wyrażenia na , dostajemy:
.
Stąd:
.
Korzystając z tożsamości , wyznaczamy:
.
Podstawiając to do wzoru na pole:
,
otrzymujemy:
.
Po uproszczeniu wyrażenia pod pierwiastkiem (sprowadzeniu do wspólnego mianownika i rozłożeniu na czynniki) uzyskujemy:
,
gdzie , q.e.d.
Warunki stosowalności
Wzór Brahmagupty jest prawdziwy wyłącznie dla czworokątów wpisanych w okrąg, czyli takich, których wszystkie wierzchołki leżą na jednym okręgu. W szczególności oznacza to, że sumy miar przeciwległych kątów są równe:
.
Jeżeli czworokąt nie spełnia tego warunku, wzór nie daje poprawnej wartości pola.
Uogólnienie
Dla dowolnego czworokąta (niekoniecznie wpisanego w okrąg) pole można wyrazić poprzez twierdzenie Bretschneidera:
,
gdzie oznacza połowę sumy miar dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokąta wpisanego w okrąg zachodzi , a więc , co prowadzi do wzoru Brahmagupty.
Związek ze wzorem Herona
Wzór Brahmagupty można traktować jako uogólnienie wzoru Herona, co można zapisać w postaci granicy:
.
Historia
Wzór został opisany przez Brahmaguptę w dziele Brahmasphutasiddhanta (628 r.). Był jednym z pierwszych znanych wyników dotyczących geometrii czworokątów i stanowi ważny etap rozwoju matematyki indyjskiej.
Przypisy
Kategoria:Czworokąty Kategoria:Twierdzenia o okręgach i czworokątach