Twierdzenie Gliwienki-Cantellego – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa opisujące asymptotyczne zachowanie dystrybuanty empirycznej w miarę wzrostu liczebności próby losowej. Zgodnie z tym twierdzeniem dystrybuanta empiryczna zbiega jednostajnie do prawdziwej dystrybuanty prawie na pewno (p.n.). Twierdzenie Gliwienki-Cantellego nazywane jest podstawowym twierdzeniem statystyki matematycznej.
Dystrybuanta empiryczna Dla niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie określonym dystrybuantą dystrybuanta empiryczna zdefiniowana jest następująco:
gdzie oznacza funkcję charakterystyczną (indykator) zbioru
Twierdzenie Niech .
Jeżeli próba pochodzi z rozkładu o dystrybuancie , to z prawdopodobieństwem 1, gdy
Dowód Dla ułatwienia rozważmy ciągłą zmienną losową . Ustalmy , aby dla. Teraz dla każdego istnieje , takie że .
Stąd
Ponieważ na podstawie mocnego prawa wielkich liczb , możemy zapewnić, że dla dowolnego dodatniego i dowolnej liczby całkowitej , takiej że , można znaleźć taką że dla każdego , mamy W powiązaniu z powyższym rezultatem, oznacza to dalej, że , co było do okazania.
Przypisy
Kategoria:Statystyka Gliwienki-Cantellego