Pierścień Boole’a – rodzaj struktury algebraicznej, konkretniej pierścienia. Pierścień Boole’a jest definiowany przez połączenie (koniunkcję) trzech własności [dostęp 2025-08-08]. Boolean ring , nLab, ncatlab.org, 14 czerwca 2025 [dostęp 2025-08-08].: jest przemienny, tzn. jego mnożenie jest przemienne; ma jedynkę, czyli element neutralny mnożenia; jego mnożenie jest idempotentne, czyli dla każdego elementu spełnia warunek:
Przykładem jest dowolny pierścień zbiorów, tzn. rodzina zamknięta na działania różnicy symetrycznej i przekroju. Taką rodziną może być dowolny zbiór potęgowy. W dalszym tekście pierścienie Boole’a są zapisywane jako krotka
Własności Każdy element pierścienia Boole’a spełnia równość: Dowód:
O takich elementach mówi się, że są inwolucjami dodawania [dostęp 2025-08-09]. lub że są rzędu dwa w grupie addytywnej [dostęp 2025-08-09]. [dostęp 2025-08-09].. W szczególności mówi się, że dowolny pierścień Boole’a ma charakterystykę równą dwa:
Wynika stąd, że działanie jednoargumentowe ma własności podobne do tych negacji i dopełnienia zbioru:
Związki z algebrami Boole’a mały|George Boole (1815–1864)
Z każdego pierścienia Boole’a da się skonstruować algebrę Boole’a i odwrotnie.
Niech będzie algebrą Boole’a. Na zbiorze da się określić działanie dwuargumentowe nazywane alternatywą rozłączną lub różnicą symetryczną, tutaj oznaczaną przez :
Wtedy będzie pierścieniem Boole’a, gdzie za mnożenie przyjmuje się .
Niech będzie pierścieniem Boole’a. Wtedy na da się zbudować inne działania:
Układ zawsze będzie algebrą Boole’a.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Boolean ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-08-08].
B Kategoria:Teoria krat