Krótka lista hipotez dotyczących liczb pierwszych przedstawiona przez Edmunda Landau podczas Międzynarodowego Kongresu Matematyków w roku 1912. Landau określił w swoim wystąpieniu te problemy jako "niemożliwe do zaatakowania w aktualnym stanie matematyki", od tego czasu zaczęły być określane jako problemy Landaua. Są to: Hipoteza Goldbacha: dowolna liczba parzysta większa od 2 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych. Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych: istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych takich że również jest liczbą pierwszą. Hipoteza Legendre'a: pomiędzy dwoma kolejnymi liczbami kwadratowymi zawsze istnieje liczba pierwsza. Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych postaci . W roku 2025 wszystkie cztery problemy ciągle pozostają nierozwiązane.
Aktualny stan Mimo, że oryginalne problemy są wciąż nierozwiązane, udowodniono pewne słabsze rezultaty wynikające z prawdziwości oryginalnych hipotez.
Hipoteza Goldbacha Twierdzenie Chena mówi, że dowolną liczbę parzystą większą od 2 można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych lub liczby pierwszej i półpierwszej.
Słaba hipoteza Goldbacha mówiąca, że dowolną liczbę nieparzystą większą od 7 da się przedstawić jako sumę 3 nieparzystych liczb pierwszych została udowodniona przez Haralda Helfgotta w 2013, a dowód został przez niego publicznie udostępniony w 2015. Aktualnie (2025) nie został on jednak wydrukowany w żadnym renomowanym czasopiśmie naukowym. Wprost ze Słabej Hipotezy Goldbacha wynika, że każdą liczbę parzystą można przedstawić jako sumę 4 liczb pierwszych.
Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych Druga wersja twierdzenia udowodnionego przez Chena mówi, że dla dowolnej liczby całkowitej istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych , takich że jest liczbą pierwszą lub półpierwszą.
W 2013 Yitang Zhang udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych z przerwą między nimi ograniczoną przez 70 milionów, a dzięki zbiorowym wysiłkom Projektu Polymath rezultat został poprawiony do długości 246. Zakładając uogólnioną hipotezę Eliotta-Halberstama można poprawić ten rezultat do długości 6.
Andrzej Shinzel przedstawił znacznie ogólniejszą hipotezę, z której poprawności wprost wynika istnienie liczb pierwszych bliźniaczych jak i wielu innych liczb pierwszych o postulowanej postaci.
Hipoteza Legendre'a Albert Ingham udowodnił, że dla odpowiednio dużych zawsze istnieje liczba pierwsza pomiędzy oraz .
Rezultaty numeryczne pokazują, że hipoteza Legendre'a zachodzi dla dowolnych kwadratów do granicy 264 ≈ 1.8. Potencjalny kontrprzykład podobnej wielkości musiałby mieć za sobą przerwę w liczbach pierwszych setki milionów razy większą niż średni rozmiar przerwy w tych granicach. Liczby pierwsze prawie kwadratowe Rozwiązanie tego problemu również wynika wprost z hipotezy H Shinzela oraz mniej ogólnej hipotezy Buniakowskiego.
Henryk Iwaniec udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele liczb postaci posiadających najwyżej dwa różne dzielniki pierwsze.
Twierdzenie Friedlandera-Iwańca mówi, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci .
Grimmelt i Merikoski korzystając z poprzednich rezultatów pokazali, że istnieje nieskończenie wiele liczb , dla których największy dzielnik pierwszy jest wielkości co najmniej . Problem Landau byłby rozwiązany dla wykładnika równego 2.
Ankeny i Kubilius zakładając rozszerzenie uogólnionej Hipotezy Riemanna na L-funkcje z charakterami Heckego pokazali, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci , gdzie . Najlepszy rezultat tego typu, który nie wymaga zakładania nieudowodnionych hipotez został osiągnięty przez Harmana i Lewisa, ich ograniczenie wynosi: .
Zobacz też Nierozwiązane problemy w matematyce Problemy Hilberta Hipoteza H Shinzela
Przypisy
Kategoria:Historia matematyki Kategoria:Otwarte problemy matematyki Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb Kategoria:Hipotezy o liczbach pierwszych