Nierówność Czebyszewa podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa lub równa od z góry ustalonej dodatniej liczby. Nazwana na cześć Pafnutija Czebyszewa.
Jedynym warunkiem na rozkład zmiennej losowej jest jej nieujemność (ściślej: zerowe prawdopodobieństwo ) Nierówność ta jest więc bardzo ogólnym ograniczeniem. Nierówność Czebyszewa-Bienaymé jest odpowiednikiem nierówności Czebyszewa także dla zmiennych niespełniających tego warunku i często również jest nazywana po prostu nierównością Czebyszewa, co może prowadzić do nieporozumień.
Twierdzenie Niech będzie zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej taką, że zaś jest jej wartością oczekiwaną. Wówczas dla każdego zachodzi:
Dowód Z prawdopodobieństwem 1 zachodzą następujące nierówności:
gdzie jest funkcją wskaźnikową zdarzenia zdefiniowaną jako:
Pierwsza z nierówności wynika w oczywisty sposób z następujących dwóch nierówności (z których pierwsza zachodzi z prawdopodobieństwem 1): oraz
Druga nierówność przyjmuje postać:
czyli jest oczywista.
Biorąc wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych i korzystając z elementarnych własności wartości oczekiwanej, otrzymujemy łańcuszek nierówności:
Ostatnia równość wynika z definicji całki Lebesgue’a z funkcji wskaźnikowej. Dzieląc skrajne wyrazy przez otrzymujemy nierówność Czebyszewa.
Z nierówności Czebyszewa wynikają nierówności: Markowa, Czebyszewa-Bienaymé, wykładnicza Czebyszewa.
Zobacz też nierówność Czebyszewa-Bienaymé nierówność Markowa wykładnicza nierówność Czebyszewa
Linki zewnętrzne Chebyshev inequality in probability theory , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
C