thumb|
Twierdzenie Brahmagupty – twierdzenie w geometrii, które stwierdza, że jeżeli czworokąt cykliczny ma prostopadłe przekątne, to prostopadła do boku z punktu przecięcia przekątnych zawsze dzieli przeciwległy bok na dwie równe części.
Twierdzenie to zostało nazwane na cześć indyjskiego matematyka Brahmagupty.
Dokładniej, niech , , i będą czterema punktami na okręgu, takim że linie i są prostopadłe. Przecięcie przekątnych i oznaczmy przez . Zrzućmy prostopadłą z na linię , a punkt przecięcia oznaczmy przez . Niech będzie punktem przecięcia linii z krawędzią . Twierdzenie mówi, że punkt jest środkiem odcinka .
Dowód thumb|Dowód twierdzenia Brahmagupty.
Musimy udowodnić, że . Pokażemy, że zarówno , jak i są równe .Zauważmy, że kąty i są równe, ponieważ są to kąty wpisane, które opierają się na tym samym łuku okręgu .Ponadto kąty i są kątami komplementarnymi względem kąta (czyli suma tych kątów wynosi ), więc są sobie równe.Także kąty i są takie same. W związku z tym trójkąt jest trójkątem równoramiennym, a więc boki i są sobie równe.Dowód, że przebiega w podobny sposób: kąty , , i są sobie równe, więc trójkąt jest trójkątem równoramiennym, a więc .Stąd wynika, że , q.e.d.
Zobacz też wzór Brahmagupty Przypisy
Kategoria:Czworokąty Kategoria:Twierdzenia o okręgach i czworokątach