mały|Dwie cięciwy przecinające się w punkcie .Twierdzenie o przecinających się cięciwach – twierdzenie w geometrii euklidesowej opisujące zależność między odcinkami wyznaczonymi przez dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu.
Rozważmy dwie cięciwy oraz , które przecinają się w punkcie . Punkty leżą na jednym okręgu. Wówczas zachodzi zależność:
.
Dowód
Połączmy punkt z punktami . Otrzymujemy dwa trójkąty: oraz .
Zauważmy, że , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku ; , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku , oraz, jako kąty wierzchołkowe.
Stąd wynika, że .
Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy .
Po przekształceniu dostajemy , q.e.d.
Interpretacja
Twierdzenie mówi, że iloczyny długości odcinków każdej z cięciw (liczonych od punktu przecięcia) są równe. Wartość ta zależy wyłącznie od położenia punktu względem okręgu.
Można wykazać, że:
,
gdzie oznacza promień okręgu, a – odległość punktu od środka okręgu.
Twierdzenie odwrotne
Jeżeli dla dwóch odcinków oraz , przecinających się w punkcie , zachodzi równość:
to punkty leżą na jednym okręgu.
W szczególności, jeżeli przekątne czworokąta przecinają się w punkcie i spełniają powyższą zależność, to czworokąt jest wpisany w okrąg.
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o okręgach