Twierdzenie o motylku – twierdzenie w geometrii euklidesowej dotyczące zależności między odcinkami wyznaczonymi przez przecinające się cięciwy w okręgu.
Dokładniej, niech i będą punktami na okręgu, a odcinek jego cięciwą. Niech będzie środkiem odcinka . Przez punkt poprowadźmy dwie cięciwy oraz . Proste oraz przecinają prostą odpowiednio w punktach i .
Twierdzenie mówi, że punkt jest środkiem odcinka , czyli: .
Dowód Musimy udowodnić, że .
Połączmy punkt z punktami , , i .
Zauważmy, że kąty w trójkątach i są równe jako kąty wpisane oparte na tych samych łukach. Analogicznie kąty w trójkątach i są równe.
Wynika stąd podobieństwo odpowiednich trójkątów, a więc oraz .
Mnożąc stronami, otrzymujemy .
Z twierdzenia o siecznych mamy: .
Stąd .
Ponieważ jest środkiem odcinka , zachodzi . Zatem:oraz.
Podstawiając . .
Stąd , a po przekształceniu: .
Zatem , q.e.d.
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o okręgach