mały|Ilustracja twierdzenia o stycznej i cięciwie Twierdzenie o stycznej i cięciwie – jedno z twierdzeń geometrii euklidesowej, które mówi, że kąt między styczną do okręgu a cięciwą przechodzącą przez punkt styczności jest równy kątowi wpisanemu w okrąg, opartemu na odpowiednim łuku.
Treść Dla każdego okręgu, jeśli prosta styczna przechodzi przez punkt na okręgu, a cięciwa przechodzi przez ten sam punkt i przecina okrąg w punktach oraz , to kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu w okrąg, opartemu na łuku (kąt ).
Dowód Załóżmy, że mamy okrąg o środku w punkcie , a prosta styczna do okręgu przechodzi przez punkt . Cięciwa przechodzi przez punkt i przecina okrąg w punktach oraz . Celem jest pokazanie, że kąt między styczną a cięciwą () jest równy kątowi wpisanemu w okrąg, opartemu na łuku (kąt ).
Zauważmy, że promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie , ponieważ styczna do okręgu w punkcie styczności jest prostopadła do promienia przechodzącego przez ten punkt.
Z twierdzenia o kątach wpisanych w okręgu wynika, że kąt jest równy połowie miary łuku .
Ponadto, kąt jest kątem zewnętrznym w trójkącie , a ponieważ jest prostopadły do stycznej, kąt jest równy , zgodnie z twierdzeniem o kątach przyległych w trójkątach.
W rezultacie, kąt jest równy kątowi wpisanemu w okrąg, opartemu na łuku , q.e.d.
Twierdzenie odwrotne Twierdzenie o stycznej i cięciwie posiada również wersję odwrotną. Jeśli dla pewnego okręgu kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku, to okrąg jest styczny do danej prostej. W tym przypadku kąt między styczną i cięciwą oraz kąt wpisany w okrąg będą miały identyczne miary, co wynika z założeń tego twierdzenia, q.e.d.
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia planimetrii