mały|Dwusieczne kątów przecinają się w środku okręgu wpisanego. Twierdzenie cotangensów – jedno z klasycznych twierdzeń trygonometrii dotyczących zależności między długościami boków trójkąta a cotangensami połówek jego kątów. W twierdzenie to wiąże promień okręgu wpisanego w trójkąt z jego bokami oraz kątami.
Treść mały|Wszystkie sześć odcinków ma postać jak na rysunku. Niech będą długościami boków trójkąta, – kątami przy wierzchołkach, – półobwód, czyli , a – promień okręgu wpisanego.
Wówczas zachodzą równości oraz .
Dowód mały|Rysunek pomocniczy
W trójkącie punkty styczności okręgu wpisanego z bokami dzielą każdy bok na dwa odcinki. Odcinki te występują parami i w każdej parze mają równe długości.
Dla przykładu, przy wierzchołku odpowiadającym kątowi powstają dwa równe odcinki, a ich długość wynosi .
Z definicji cotangensa w trójkącie prostokątnym otrzymujemy: .
Analogicznie: .
Stąd wynika pierwsza część tezy.
Aby otrzymać wzór na promień okręgu wpisanego, mnożymy zależności: .
Korzystając z tożsamości: oraz podstawiając wcześniejsze zależności, otrzymujemy: .
Po przekształceniu: , q.e.d.
Zastosowania Wzór Herona:
zależności trygonometryczne w trójkącie:
inne tożsamości:
Przypisy
Kategoria:Trygonometria Kategoria:Geometria