Przestrzeń Valdivii albo zwarta przestrzeń Valdivii – przestrzeń zwarta Hausdorffa, którą można zanurzyć w potęgę prostej rzeczywistej w taki sposób, aby punkty o co najwyżej przeliczalnym nośniku tworzyły w niej zbiór gęsty. Klasa ta pojawia się w topologii ogólnej i analizie funkcjonalnej, zwłaszcza w teorii przestrzeni Banacha postaci oraz w teorii przestrzeni Plichki i przestrzeni z projekcyjnymi rozkładami jedności.
Nazwa pochodzi od hiszpańskiego matematyka Manuela Valdivii, którego prace nad słabą zwartością i przestrzeniami lokalnie wypukłymi doprowadziły do wyodrębnienia klasy kompaktów znanej później jako zwarte przestrzenie Valdivii.
Definicja Niech będzie dowolnym zbiorem. Przez
oznacza się tzw. -produkt, czyli zbiór punktów potęgi mających co najwyżej przeliczalny nośnik.
Zwarta przestrzeń Hausdorffa nazywa się przestrzenią Valdivii, jeżeli istnieje zbiór oraz homeomorficzne zanurzenie
takie, że
jest gęste w
Jeżeli jest traktowana jako podprzestrzeń i jest gęste w mówi się, że jest to zanurzenie Valdivii przestrzeni Często zamiast używa się kostki Tichonowa co nie zmienia istoty definicji dla przestrzeni zwartych.
Intuicja Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa może być zanurzona w pewną kostkę Warunek Valdivii mówi, że można to zrobić tak, aby punkty zależne tylko od przeliczalnie wielu współrzędnych były gęste. W ten sposób przestrzeń może być bardzo duża i niemetryzowalna, ale zawiera gęsty „przeliczalnowspółrzędny” rdzeń.
Definicja jest słabsza niż definicja przestrzeni Corsona. W zwartej przestrzeni Corsona wszystkie punkty mają przeliczalny nośnik w odpowiednim zanurzeniu, natomiast w przestrzeni Valdivii wymaga się tego jedynie od zbioru gęstego punktów.
Związek z przestrzeniami Corsona Zwarta przestrzeń jest przestrzenią Corsona, jeżeli jest homeomorficzna ze zwartą podprzestrzenią dla pewnego zbioru Każda zwarta przestrzeń Corsona jest przestrzenią Valdivii, ponieważ wówczas cały obraz leży w a więc w szczególności przecięcie z jest gęste.
Inkluzja ta jest właściwa. Klasycznym przykładem przestrzeni Valdivii, która nie jest przestrzenią Corsona, jest przedział porządkowy
gdzie oznacza pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową. W ogólności przestrzenie Corsona można charakteryzować jako te zwarte przestrzenie Valdivii, które mają przeliczalną ciasność.
Znany wynik Deville’a i Godefroya, omawiany w literaturze dotyczącej kompaktów Valdivii, mówi, że przestrzeń Valdivii jest przestrzenią Corsona wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera kopii przedziału porządkowego
Przykłady Kompakty metryzowalne Każda zwarta przestrzeń metryzowalna jest przestrzenią Corsona, a więc także przestrzenią Valdivii. Rzeczywiście, zwartą przestrzeń metryzowalną można zanurzyć w kostkę Hilberta a każdy punkt takiej kostki ma nośnik co najwyżej przeliczalny.
Przestrzenie Corsona Każda zwarta przestrzeń Corsona jest przestrzenią Valdivii. Obejmuje to wiele przestrzeni pojawiających się jako zwarte podzbiory -produktów oraz naturalne zwarte przestrzenie występujące w teorii słabo Lindelöfowsko wyznaczonych przestrzeni Banacha.
Przedział porządkowy Przedział z topologią porządkową jest standardowym przykładem przestrzeni Valdivii, która nie jest przestrzenią Corsona. Jest on zwarty i niemetryzowalny; punkt jest źródłem nieprzeliczalnego charakteru tej przestrzeni.
Produkty Klasa zwartych przestrzeni Valdivii jest domknięta na dowolne produkty. Oznacza to, że jeżeli jest rodziną przestrzeni Valdivii, to produkt
również jest przestrzenią Valdivii.
Naturalne przykłady z analizy funkcjonalnej W literaturze opisano wiele naturalnych przykładów przestrzeni Valdivii i ich ciągłych obrazów związanych z przestrzeniami kratami Banacha, zwartymi grupami, przestrzeniami uporządkowanymi oraz nieprzemiennymi przestrzeniami
Ciągłe obrazy Klasa zwartych przestrzeni Valdivii nie jest, w przeciwieństwie do klasy kompaktów metryzowalnych, stabilna względem dowolnych ciągłych obrazów. Manuel Valdivia skonstruował przykład ciągłego obrazu zwartej przestrzeni Valdivii, który nie jest przestrzenią Valdivii; Kalenda podał następnie inny przykład, będący kulą dualną pewnej przestrzeni Banacha z topologią słabą gwiazdkową.
Znane są jednak istotne twierdzenia częściowo pozytywne. Kalenda wykazał, że jeśli każdy ciągły obraz zwartej przestrzeni jest przestrzenią Valdivii, to jest przestrzenią Corsona. Ponadto ciągły obraz przestrzeni Valdivii jest przestrzenią Corsona, o ile nie zawiera homeomorficznej kopii przedziału
Dla odwzorowań otwartych sytuacja jest subtelna. Kalenda udowodnił, że otwarty ciągły obraz przestrzeni Valdivii jest znów przestrzenią Valdivii, jeśli obraz ma gęsty zbiór punktów typu Z drugiej strony Kubiś i Uspenskij skonstruowali zwartą spójną grupę abelową wagi która nie jest przestrzenią Valdivii, i wyprowadzili z tego, że przestrzenie Valdivii nie są zachowywane przez odwzorowania otwarte.
Dla przestrzeni małej wagi istnieją mocniejsze wyniki zachowywania. Kubiś i Michalewski pokazali między innymi, że przestrzeń zwarta wagi co najwyżej jest przestrzenią Valdivii wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą odwrotnego ciągu kompaktów metryzowalnych z odwzorowaniami wiążącymi będącymi retrakcjami; w konsekwencji klasa takich przestrzeni jest zachowywana przez retrakcje i przez otwarte obrazy zerowymiarowe.
Retrakcje i szkielety retrakcyjne Jednym z ważnych współczesnych narzędzi w badaniu przestrzeni Valdivii są szkielety retrakcyjne. W przybliżeniu chodzi o skierowaną rodzinę retrakcji przestrzeni zwartej na metryzowalne podprzestrzenie, która przybliża całą przestrzeń.
Zwarta przestrzeń jest przestrzenią Valdivii wtedy i tylko wtedy, gdy ma przemienny szkielet retrakcyjny. Uogólnienie polegające na opuszczeniu przemienności prowadzi do tzw. nieprzemiennych przestrzeni Valdivii.
Nieprzemienne przestrzenie Valdivii zachowują wiele własności klasycznych przestrzeni Valdivii, ale tworzą klasę szerszą. Istnieją przykłady kompaktów ze szkieletem retrakcyjnym, które nie są przestrzeniami Valdivii w klasycznym sensie.
Związki z przestrzeniami Banacha Przestrzenie Valdivii są ściśle związane z geometrią niemetryzowalnych przestrzeni Banacha. Jeżeli jest przestrzenią zwartą, to własności topologiczne często przekładają się na własności przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na
W szczególności kompakty Valdivii są dualne, w odpowiednim sensie, do przestrzeni 1-Plichki: jeżeli jest przestrzenią Valdivii, to jest przestrzenią 1-Plichki, a wiele konstrukcji projekcyjnych w odpowiada szkieletom retrakcyjnym po stronie przestrzeni zwartej.
Kalenda podał również charakteryzację przestrzeni Valdivii przez własności przestrzeni z pewną topologią wprowadzoną wcześniej przez Valdivię. Wynik ten uogólnia wcześniejszą charakteryzację przestrzeni Corsona przez Ryszarda Pola.
Z przestrzeniami Valdivii związane są też kule dualne. Kalenda wykazał między innymi, że kula dualna z topologią słabą gwiazdkową jest przestrzenią Valdivii, gdy jest przestrzenią Valdivii; odwrotność zachodzi pod dodatkowymi założeniami, na przykład gdy ma gęsty zbiór punktów typu
Przestrzenie miar prawdopodobieństwa Dla zwartej przestrzeni oznacza się zwykle przez przestrzeń wszystkich regularnych borelowskich miar probabilistycznych na wyposażoną w topologię słabą gwiazdkową odziedziczoną z Przestrzenie dostarczają wielu przykładów i kontrprzykładów w teorii przestrzeni Valdivii.
Jeżeli jest przestrzenią Corsona, to jest przestrzenią Valdivii. Natomiast jest przestrzenią Corsona wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią Corsona z własnością (M), czyli każda miara Radona na ma nośnik separowalny.
Istnieją też przykłady przestrzeni które same nie są przestrzeniami Valdivii, lecz jest przestrzenią Valdivii. Pokazuje to, że operacja przechodzenia od do przestrzeni miar probabilistycznych może istotnie zmieniać położenie przestrzeni w hierarchii kompaktów niemetryzowalnych.
Wyniki zależne od dodatkowych aksjomatów teorii mnogości Sama definicja przestrzeni Valdivii jest sformułowana w zwykłej teorii mnogości ZFC, ale niektóre własności powiązanych klas, zwłaszcza przestrzeni Corsona i przestrzeni miar, zależą od dodatkowych aksjomatów teorii mnogości.
Ważnym przykładem jest własność (M) dla kompaktów Corsona, mówiąca, że każda miara Radona ma nośnik separowalny. Przy założeniu hipotezy continuum istnieją przestrzenie Corsona bez własności (M). Z kolei z aksjomatu Martina wraz z zaprzeczeniem hipotezy continuum wynika, że każda przestrzeń Corsona ma własność (M).
Konsekwencje te wpływają na klasyfikację przestrzeni i przestrzeni funkcji Na przykład pod hipotezą continuum można otrzymać przestrzeń Corsona taką, że jest przestrzenią Valdivii, ale nie jest przestrzenią Corsona. W tym sensie część subtelnej teorii przestrzeni Valdivii i Corsona ma charakter teoriomnogościowy.
Klasy pokrewne Do klas przestrzeni zwartych blisko związanych z przestrzeniami Valdivii należą: przestrzenie Corsona – zwarte podprzestrzenie -produktów; przestrzenie Eberleina – zwarte przestrzenie homeomorficzne ze słabo zwartymi podzbiorami przestrzeni Banacha; przestrzenie Radona-Nikodýma – zwarte przestrzenie związane z przestrzeniami Asplunda i metrykami fragmentującymi; nieprzemienne przestrzenie Valdivii – kompakty mające szkielet retrakcyjny, niekoniecznie przemienny; ciągłe obrazy przestrzeni Valdivii – klasa szersza od klasy samych przestrzeni Valdivii.
Znaczenie Przestrzenie Valdivii tworzą pomost między topologią niemetryzowalnych przestrzeni zwartych a teorią Banacha. Z jednej strony są wystarczająco ogólne, aby obejmować wiele naturalnych przykładów niemetryzowalnych kompaktów; z drugiej strony zachowują wystarczająco dużo struktury „separowalnej”, aby umożliwiać budowę retrakcji, projekcji i rozkładów przestrzeni funkcji ciągłych.
Ich badanie doprowadziło do rozwoju metod opartych na szkieletach retrakcyjnych, szkieletach projekcyjnych, modelach elementarnych i analizie ciągłych obrazów. Te metody są obecnie używane także poza klasyczną teorią kompaktów Valdivii, między innymi w teorii przestrzeni Banacha z bazami Markushevicha i w badaniu nieprzemiennych odpowiedników przestrzeni Valdivii.
Zobacz też przestrzeń zwarta przestrzeń Corsona przestrzeń Eberleina przestrzeń Banacha przestrzeń Asplunda przestrzeń Plichki przestrzeń funkcji ciągłych topologia ogólna hipoteza continuum aksjomat Martina
Przypisy
Literatura Ondřej F. K. Kalenda, Valdivia compact spaces in topology and Banach space theory, Extracta Mathematicae 15 (2000), nr 1, s. 1–85. Ondřej F. K. Kalenda, Continuous images and other topological properties of Valdivia compacta, Fundamenta Mathematicae 162 (1999), nr 2, s. 181–192. Ondřej F. K. Kalenda, Natural examples of Valdivia compact spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications 340 (2008), nr 1, s. 81–101. Wiesław Kubiś, Henryk Michalewski, Small Valdivia compact spaces, Topology and its Applications 153 (2006), nr 14, s. 2560–2573. Marek Cúth, Ondřej F. K. Kalenda, Noncommutative Valdivia compacta, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 55 (2014), nr 1, s. 53–72. Wiesław Kubiś, Vladimir Uspenskij, A compact group which is not Valdivia compact, Proceedings of the American Mathematical Society 133 (2005), nr 8, s. 2483–2487.
Linki zewnętrzne Ondřej F. K. Kalenda, Valdivia compact spaces in topology and Banach space theory Ondřej Kalenda, Continuous images and other topological properties of Valdivia compacta Wiesław Kubiś, Henryk Michalewski, Small Valdivia compact spaces
Kategoria:Topologia ogólna Kategoria:Analiza funkcjonalna Kategoria:Przestrzenie topologiczne