Twierdzenie o półobwodzie (tzw. wzór woźnicy) – twierdzenie w geometrii euklidesowej dotyczące zależności pomiędzy polem wielokąta stycznego, jego półobwodem i promieniem okręgu wpisanego.
Treść Jeśli dany jest wielokąt styczny o polu , półobwodzie i promieniu okręgu wpisanego , to zachodzi zależność:
.
Równoważnie , gdzie to obwód tego wielokąta.
Dowód
Niech wielokąt ma boki oraz niech okrąg wpisany ma promień . Okrąg ten jest styczny do wszystkich boków wielokąta, więc każdy bok można podzielić na dwa odcinki styczne o długościach odpowiadających kolejnym wierzchołkom.
Pole wielokąta można rozbić na sumę pól trójkątów o wysokości i podstawach równych długościom boków:
, .
Ponieważ , otrzymujemy:
, q.e.d.
Etymologia Nazwa twierdzenie o półobwodzie jest standardowa, jednak nazwa wzór woźnicy wywodzi się od sygnału dla konia na zatrzymanie się pr ().
Przypisy
Kategoria:Wielokąty Kategoria:Twierdzenia planimetrii