Teoria podzielności – dział algebry abstrakcyjnej zajmujący się badaniem relacji podzielności w pierścieniach oraz struktur algebraicznych wynikających z tej relacji.
Podstawowym obiektem badań jest pierścień , w którym dla elementów:
określa się relację:
oznaczającą, że: . Elementy relacji podzielności Dzielnik Niech .
Element nazywa się dzielnikiem elementu , jeżeli: .
Równoważnie istnieje element:
taki, że: .
Zbiór wszystkich dzielników elementu oznacza się niekiedy przez: .
W pierścieniu liczb całkowitych przykładowo:
są dodatnimi dzielnikami liczby: . Wielokrotność
Niech .
Element nazywa się wielokrotnością elementu , jeżeli: .
Oznacza to, że istnieje element:
spełniający: .
Każda wielokrotność elementu jest więc otrzymywana przez pomnożenie go przez pewien element pierścienia.
W zbiorze liczb naturalnych wielokrotnościami liczby:
są między innymi: .
Jeżeli: ,
to element jest dzielnikiem elementu , a element jest wielokrotnością elementu . Elementy stowarzyszone
Elementy:
są stowarzyszone, jeśli istnieje jednostka:
taka, że: .
Oznacza się: .
Po utożsamieniu elementów stowarzyszonych relacja podzielności tworzy częściowy porządek. Działania na podzielności Relacja podzielności Relacja podzielności jest relacją binarną określoną na elementach pierścienia.
Dla elementów mówimy, że dzieli (oznaczamy ), jeżeli istnieje taki element , że: .
Relacja podzielności posiada następujące własności: Zwrotność Relacja podzielności jest zwrotna, ponieważ każdy element pierścienia dzieli sam siebie: .
Istotnie: ,
a więc istnieje element pierścienia , przez który można pomnożyć , aby otrzymać ponownie .
Przechodniość Jeżeli: oraz ,
to: .
Z pierwszego warunku wynika, że istnieje takie, że: .
Z drugiego warunku wynika, że istnieje takie, że: .
Po podstawieniu otrzymujemy: .
Ponieważ , wynika stąd, że: .
Relacja stowarzyszenia Z powodu braku antysymetrii wprowadza się relację stowarzyszenia.
Mówimy, że elementy są stowarzyszone, jeżeli istnieje element odwracalny taki, że: .
Oznacza to, że dwa elementy są stowarzyszone wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się jedynie przez mnożenie przez element odwracalny pierścienia.
W szczególności:
jest równoważne z: i . Największy wspólny dzielnik
Niech . Element nazywa się największym wspólnym dzielnikiem elementów i , jeżeli:
oraz:
i dla każdego elementu spełniającego: oraz
zachodzi: .
Jest on wówczas odpowiednikiem iloczynu.
Największy wspólny dzielnik oznacza się symbolem: .
Dla dowolnego skończonego ciągu elementów definiuje się iterowany największy wspólny dzielnik: .
Operacja wybiera największy element, który jest wspólnym dzielnikiem wszystkich argumentów. Łączy wiele elementów w jeden element zawierający ich wspólną część: . Najmniejsza wspólna wielokrotność
Element nazywa się najmniejszą wspólną wielokrotnością elementów , jeżeli:
oraz:
i dla każdego:
takiego, że: oraz
zachodzi: .
Jest on wówczas odpowiednikiem sumy.
Oznacza się ją symbolem: .
Dla dowolnego skończonego ciągu elementów definiuje się iterowaną najmniejszą wspólną wielokrotność: .
Operacja wyznacza najmniejszy element będący wspólną wielokrotnością wszystkich argumentów. Łączy ona wiele elementów w jeden element zawierający je wszystkie: . Krata podzielności W wielu pierścieniach zbiór klas stowarzyszenia względem relacji podzielności tworzy strukturę kratową.
Dla elementów:
wyróżnia się: największy wspólny dzielnik, najmniejszą wspólną wielokrotność. Związek z ideałami Podzielność jest powiązana z ideałami głównymi.
Dla:
zachodzi:
wtedy i tylko wtedy, gdy: . Podzielność wielomianów
Teoria podzielności może być rozwijana również w pierścieniach wielomianów.
Dla wielomianów:
mówimy, że:
jeżeli istnieje wielomian:
taki, że: .
Przykładowo:
ponieważ: .
W pierścieniach wielomianów nad ciałem istnieją odpowiedniki: największego wspólnego dzielnika, najmniejszej wspólnej wielokrotności, algorytmu Euklidesa.
Podzielność wielomianów odgrywa istotną rolę w algebrze, teorii ciał oraz geometrii algebraicznej. Teoria podzielności liczb całkowitych Pierścień liczb całkowitych jest jednym z głównych przykładów dziedziny całkowitości w teorii podzielności.
Podzielność definiuje się przez: .
Elementami odwracalnymi w są: .
Dlatego:
wtedy i tylko wtedy, gdy: .
W każdy element różny od zera można rozłożyć na iloczyn elementów pierwszych.
Teoria podzielności liczb naturalnych Zbiór liczb naturalnych z relacją podzielności jest podstawowym przykładem teorii podzielności.
Dla:
zachodzi: .
Przykład:
ponieważ: .
W zawsze istnieją: największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
Ponadto zachodzi zależność: . Liczby pierwsze W teorii podzielności liczb naturalnych szczególne znaczenie mają liczby pierwsze.
Zbiorem liczb pierwszych oznacza się zbiór: .
Przykładami liczb pierwszych są: . Arytmetyka modularna Relacja podzielności jest ściśle związana z pojęciem przystawania modulo.
Dla liczb całkowitych:
przy czym:
piszemy:
jeżeli: .
Oznacza to, że różnica liczb i jest podzielna przez .
Przykładowo:
ponieważ: .
Arytmetyka modularna znajduje zastosowanie między innymi w: teorii liczb, kryptografii, informatyce, teorii kodowania.
Wiele własności podzielności można formułować za pomocą kongruencji modularnych. Elementy pierwsze
Element nazywa się pierwszym, jeżeli nie jest elementem odwracalnym oraz implikuje lub .
Elementy pierwsze są podstawowymi składnikami rozkładów multiplikatywnych. Elementy nierozkładalne
Element nazywa się nierozkładalnym, jeżeli oraz z równości wynika, że lub jest elementem odwracalnym.
W ogólności element pierwszy jest nierozkładalny, ale odwrotność nie zawsze zachodzi.
Faktoryzacja
Jednym z podstawowych zagadnień teorii podzielności jest przedstawianie elementów jako iloczynów elementów nierozkładalnych lub pierwszych. W dziedzinach z jednoznacznym rozkładem każdy element niezerowy i niebędący jednostką posiada rozkład jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników oraz elementów stowarzyszonych. Dziedziny z jednoznacznym rozkładem
Pierścień jest dziedziną z jednoznacznym rozkładem (UFD), jeśli każdy element niezerowy i niebędący jednostką ma rozkład na elementy nierozkładalne jednoznaczny z dokładnością do kolejności oraz elementów stowarzyszonych. Pierścienie euklidesowe
Pierścień jest euklidesowy, jeśli istnieje funkcja:
pozwalająca wykonywać dzielenie z resztą.
Każdy pierścień euklidesowy jest: dziedziną główną, dziedziną z jednoznacznym rozkładem.
Algorytm Euklidesa
W pierścieniu liczb całkowitych największy wspólny dzielnik można znaleźć za pomocą algorytmu Euklidesa.
Jeżeli:
to: .
Algorytm ten jest jednym z podstawowych narzędzi teorii podzielności. Zastosowania Teoria podzielności znajduje zastosowanie w: teorii liczb, kryptografii, teorii pierścieni, geometrii algebraicznej.
Służy między innymi do badania: struktur ideałów, algorytmów faktoryzacji, własności liczb pierwszych.
Przypisy
Kategoria:Teoria liczb Kategoria:Teoria pierścieni