Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo – osiem), liczby Cayleya – rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Opisało ją niezależnie dwóch matematyków: John T. Graves w roku 1843 i Arthur Cayley w roku 1845.
Oktoniony są trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych.
Są algebrą 8-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Z tego też powodu mogą być traktowane jako ośmioelementowe ciągi liczb rzeczywistych. Oktawa jest kombinacją liniową jedynki i 7 jednostek urojonych tworzących bazę standardową przestrzeni: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 i e7. Gdzie e1...e7 podniesione do kwadratu dają −1. Działanie dodawania na oktawach jest równoważne dodawaniu wektorów 8-wymiarowej przestrzeni, natomiast działanie mnożenia definiuje poniższa tabela:
thumb|Mnemotechnika, pomagająca w mnożeniu jednostek urojonych. Wynikiem mnożenia jest jednostka leżąca na tym samym odcinku płaszczyzny Fana, co oba czynniki. Iloczyn jest dodatni, jeśli czynniki występują w kolejności zgodnej ze zwrotem strzałki.
· 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 e1 −1 e4 e7 –e2 e6 –e5 –e3 e2 e2 –e4 −1 e5 e1 –e3 e7 –e6 e3 e3 –e7 –e5 −1 e6 e2 –e4 e1 e4 e4 e2 –e1 –e6 −1 e7 e3 –e5 e5 e5 –e6 e3 –e2 –e7 −1 e1 e4 e6 e6 e5 –e7 e4 –e3 –e1 −1 e2 e7 e7 e3 e6 –e1 e5 –e4 –e2 −1
Kolejność w mnożeniu to wiersze (ei) – kolumny (ej). Stąd też: dla
tu działania oznaczają:
Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest alternatywne (tj. łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów).
Oktawy Cayleya zawierają w sobie algebry izomorficzne z: liczbami rzeczywistymi, liczbami zespolonymi, kwaternionami.
Z drugiej strony można zanurzyć w następujących algebrach: sedeniony
Zobacz też liczba
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-03-07]. Cayley numbers , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-08-08]. The Octonions – artykuł Johna C. Baeza
Kategoria:Algebra niełączna Kategoria:Liczby hiperzespolone