Lematy Borela-CantellegoNie Cantelliego, lecz Cantellego, zobacz poradnia językowa PWN – nie ma tego hasła w poradni, ale jest: Bernoulliego, a nie Bernoullego . – lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.
Niech będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej
Pierwszy lemat Borela-Cantellego Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń jest zbieżny, tj.
wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń wynosi 0, tj.
Dowód Niech Korzystając z własności miary:
Również z własności miary otrzymujemy nierówność:
Niech Z założenia więc szereg jest zbieżny. Zauważmy, że:
Korzystając z oraz twierdzenia o trzech ciągach:
Kończy to dowód, bo:
Drugi lemat Borela-Cantellego Jeśli zdarzenia są niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.
wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń wynosi 1, tj.
Dowód Niech Korzystając z własności miary:
Zapiszmy w postaci: Niech Korzystając ponownie z własności miary:
Zauważmy, że gdzie
Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że Zauważmy:
Więc z twierdzenia o trzech ciągach: I ostatecznie
Wniosek Jeżeli zdarzenia są niezależne to dla zdarzenia zachodzi warunek:
Przykład Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że -ty, i rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia nie są niezależne, ale zdarzenia są.
Każde zdarzenie ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.
Zobacz też prawo iterowanego logarytmu proces Bernoulliego
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Borel-Cantelli lemma , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
B