Pierścień z jednoznacznością rozkładu, pierścień Gaussa, UFD (ang. unique factorization domain) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki.
Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu, oraz inne zależności inkluzywne (⊃) dotyczące pierścieni UFD: pierścienie ⊃ pierścienie przemienne ⊃ dziedziny całkowitości ⊃ pierścienie z jednoznacznością rozkładu (UFD) ⊃ dziedziny ideałów głównych (DIG) ⊃ pierścienie euklidesowe ⊃ ciała
Definicja Dziedzina całkowitości nazywana jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego niezerowego elementu nieodwracalnego istnieją elementy nierozkładalne takie, że jeżeli gdzie wszystkie elementy są nierozkładalne, to i istnieje permutacja taka, że to znaczy elementy te są stowarzyszone.
Własności Jeżeli jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to istnieje w nim największy wspólny dzielnik. Twierdzenie Gaussa: Jeżeli jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, pierścień wielomianów również jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu. W pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Factorial ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-22].
Kategoria:Rodzaje pierścieni