mały|250px|Prosta Eulera zaznaczona na czerwono. Niebieskie linie to wysokości, zielone to symetralne boków, a pomarańczowe to środkowe trójkąta
Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez: ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe), środek okręgu dziewięciu punktów.
Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.
Dowód mały|300px
Niech będą obrazami punktów w jednokładności o skali i środku w punkcie
Wtedy
Czworokąt jest równoległobokiem, więc
Zatem
Środek ciężkości dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc
Ponieważ to bo są to kąty naprzemianległe.
Zatem jest obrazem w jednokładności o środku w i skali
Stąd otrzymujemy, że leżą na jednej prostej oraz
Linki zewnętrzne
[dostęp 2022-10-06]. Euler straight line , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-30]. Wysokości trójkąta a prosta Eulera na cut-the-knot Prosta Eulera a okrąg dziewięciu punktów na cut-the-knot
Kategoria:Obiekty określone dla trójkąta Kategoria:Leonhard Euler Kategoria:Twierdzenia o trójkątach szczególnych