mały|250px|Przybliżanie krzywej za pomocą łamanej mały|250px|Przykład krzywej prostowalnej – da się ją przekształcić w odcinek prostoliniowy, a jego długość nazywa się długością krzywej mały|250px|Wybrane przybliżenia krzywej Peana. Dla granicznej krzywej nie da się określić długości – krzywa Peana nie jest prostowalna
Długość krzywej – dodatnia wielkość związana z niektórymi krzywymi; uogólnienie długości odcinków i długości łamanych na niektóre inne linie. Są nazywane prostowalnymi lub rektyfikowalnymi, a ich dokładne definicje podano w dalszych sekcjach.
Pojęcie krzywej jest tu rozumiane szeroko – mogą to być linie na płaszczyźnie w jej podstawowym, euklidesowym znaczeniu, linie w trójwymiarowej przestrzeni tego typu, ale też linie w bardziej ogólnych przestrzeniach euklidesowych dowolnego wymiaru. Krzywe i ich długości w najszerszym znaczeniu są definiowane metodami matematyki wyższej, konkretniej analizy i topologii. W tych dziedzinach mówi się o przestrzeniach metrycznych – w tym kontekście pojawia się ogólne pojęcie odległości, którym definiuje się długość.
Zarówno w najprostszych przypadkach, jak i tych najbardziej abstrakcyjnych, krzywe da się przybliżać za pomocą linii łamanych. Polega to na wyborze skończonej liczby punktów krzywej i na odpowiednim połączeniu tych punktów odcinkami, zwanymi cięciwami. Im więcej cięciw ma odpowiednia łamana, tym dokładniej przybliży krzywą, a dla każdej łamanej da się określić długość. Ten zbiór długości przybliżeń może mieć kres górny, inaczej supremum – to właśnie ta graniczna wartość jest nazywana długością krzywej. Nie wszystkie krzywe mają tę własność – taka granica może nie istnieć. Krzywe nieprostowalne występują m.in. w najprostszym kontekście, czyli na płaszczyźnie euklidesowej – długości nie mają m.in. krzywa Peana, krzywa Kocha i niektóre inne fraktale.
Długości krzywych są rozważane od antyku. Przykładowo problem długości okręgu badano w starożytnym Egipcie całe tysiąclecia przed naszą erą (p.n.e.), co doprowadziło do pojęcia liczby pi (π). W nowożytności stworzono nowe działy matematyki jak geometria analityczna i analiza rzeczywista, które umożliwiły postęp w takich badaniach. Pierwsza z nich wprowadziła opis niektórych krzywych przez równania i wykresy funkcji, a druga z nich – pojęcie całki. Dla niektórych krzywych opisanych wzorami długość jest obliczana właśnie przez całki.
Definicja długości krzywej w przestrzeni euklidesowej Na krzywej zadajemy punktów ustawionych kolejno wzdłuż krzywej zaczynając od jej jednego końca i poruszając się do drugiego końca, przy czym punkty oraz umieszcza się odpowiednio na początku i na końcu krzywej. Niech oznacza sumę długości odcinków łamanej, wyznaczonej przez punkty tj.
gdzie jest długością odcinka o końcach
Jeżeli powyższa suma zmierza do ustalonej granicy dla rosnącego do nieskończoności, to graniczną wartość tej sumy nazywamy długością krzywej , tj.
Dowodzi się, że długość krzywej nie zależy od wyboru punktów łamanych, przybliżających daną krzywą
Krzywą której można w ten sposób przypisać długość, nazywa się krzywą prostowalną (lub rektyfikowalną).
W przeciwnym wypadku krzywą nazywa się nieprostowalną (nierektyfikowalną).
Parametryzacje krzywych Definicje Efektywnego opisu krzywych dostarcza geometria analityczna. Jedną z metod opisu krzywych jest opis za pomocą równań parametrycznych.
Niech będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej (lub ogólnie: w przestrzeni metrycznej) Istnieje wtedy funkcja wektorowa jednej zmiennej nazywana parametryzacją, która każdej liczbie przypisuje wzajemnie jednoznacznie współrzędne kartezjańskie każdego punktu krzywej Oznacza to, że:
A. dla parametryzacji krzywych płaskich trzeba podać dwie funkcje parametru
B. dla parametryzacji krzywych w przestrzeni 3-wymiarowej trzeba podać trzy funkcje parametru
C. dla krzywych w przestrzeni n-wymiarowej trzeba podać funkcji parametru
W ogólności można opisywać krzywe za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, jak współrzędne biegunowe, sferyczne itd.
Przykłady płaskie mały|300px|Długość łuku s spirali logarytmicznej w funkcji kata θ, będącego parametrem definiującym spiralę. Długość łuku s jest parametrem naturalnym spirali
Elipsa Równania parametryczne definiujące elipsę mającej środek w początku układu współrzędnych i główną oś wzdłuż osi o półosiach oraz jest funkcja mają postać
Funkcja parametrowi jednoznacznie przypisuje jeden punkt elipsy na płaszczyźnie
Spirala logarytmiczna Równania parametryczne spirali logarytmicznej są następujące:
gdzie – stałe, określające wymiary spirali, – parametr krzywej.
Przykład trójwymiarowy mały|300px|Linia śrubowa prawoskrętna (cos t, sin t, t) dla t od 0 do 4π; strzałki pokazują kierunek wzrostu t
Wzór helisy położonej na powierzchni bocznej walca ma we współrzędnych kartezjańskich postać:
gdzie jest promieniem walca, a ilorazem prędkości ruchu punktu po tworzącej oraz prędkości kątowej obrotu walca – parametr krzywej.
Jeśli linia jest prawoskrętna; jeśli linia jest lewoskrętna.
Parametr naturalny krzywej Jeżeli wyznaczy się zależność długości krzywej od ustalonego punktu początkowego do jej dowolnego punktu to za pomocą długości s można przedefiniować krzywą; wtedy nazywa się parametrem naturalnym krzywej.
Wzory na długości krzywych Krzywe płaskie – opis kartezjański Jeśli krzywa płaska zadana jest funkcją która jest różniczkowalna, to rolę niezależnego parametru pełni współrzędna wtedy wzór na długość krzywej ma postać:
gdzie – pochodna funkcji względem zmiennej Jeżeli krzywa płaska jest sparametryzowana równaniami
gdzie funkcje i są różniczkowalne względem parametru to długość krzywej opisuje wzór:
gdzie oraz – pochodne funkcji oraz względem parametru
Przykład: Obliczenie długości cykloidy
thumb|283x283px|Zakreślanie cykloidy Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi
gdzie jest promieniem toczącego się koła; jeden łuk cykloidy otrzymamy dla
Tw. Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się koła, tj.
Dowód: Pochodne funkcji oraz względem parametru mają postać:
Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru (2)
dla otrzymamy
Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów
otrzymamy
W granicach całkowania wyrażenie jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość
Krzywe płaskie – opis biegunowy We współrzędnych biegunowych: jeżeli krzywa płaska jest wyrażona za pomocą współrzędnych biegunowych, tj. to wzór na długość krzywej ma postać:
Drugie wyrażenie odpowiada przypadkowi, gdy parametr jest równy współrzędnej kątowej, tj. wtedy
Krzywe w trójwymiarze – opis walcowy We współrzędnych walcowych wzór na długość krzywej ma postać:
Krzywe w trójwymiarze – opis sferyczny Niech będzie dana krzywa zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie jest kątem mierzonym od dodatniej półosi oraz kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności
Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej we współrzędnych sferycznych:
Długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych Przestrzenie nieeuklidesowe – to przestrzenie metryczne, stanowiące uogólnienie pojęcia przestrzeni euklidesowej, w ogólności -wymiarowe. Przestrzenie takie opisuje np. szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności Einsteina.
Odległość infinitezymalna między punktami: długość wektora łączącego punkt z infinitezymalnie odległym punktem zadana jest wzorem
gdzie to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia ).
Długość krzywej
Jeżeli krzywa dana jest przez równań parametrycznych
gdzie – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia wzdłuż krzywej ma postać
Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora z samym sobą, tj.
Długość łuku krzywej jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.
czyli ostatecznie mamy
Uwaga:
Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:
(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego (por. Przykłady obliczeń tensora metrycznego)
– stąd wynika wzór (3) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,
(b) w układzie współrzędnych sferycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego
– stąd wynika wzór (1) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,
(c) w układzie współrzędnych cylindrycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego
– stąd wynika wzór (2) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych.
Zobacz też Obwód (geometria) lista krzywych wahanie funkcji
Przypisy
Bibliografia N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010. T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2026-01-19]: Długość krzywej, 8 czerwca 2021. Długość krzywej zadanej w postaci biegunowej, 22 czerwca 2021. [dostęp 2026-01-19]. Length , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-14].
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Parametry krzywych