Całka Lebesgue’a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji całkowanych oraz na szerszą klasę zbiorów, stanowiących dziedziny tych funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a.
Różnica między całką Riemanna a Lebesgue'a polega na sposobie obliczania. W metodzie Riemanna dzieli się dziedzinę funkcji na małe przedziały i mierzy „wysokość” wykresu po kolei w każdym przedziale. W metodzie Lebesgue'a dzieli się na przedziały zbiór wartości funkcji i potem oblicza wielkości kawałków dziedziny, które funkcja przekształca do tych poszczególnych przedziałów wartości.
Sam Lebesgue tak opisał swoją metodę całkowania: Wyobraźcie sobie, że należy zapłacić pewną sumę. Można w tym celu wyciągać pieniądze z portmonetki po kolei, aby uzbierać potrzebną kwotę. To całka Riemanna. Można też wyjąć wszystkie monety naraz, posegregować je według wartości i dopiero teraz zapłacić kilkoma monetami. To moja całka.
Jeżeli dla danej funkcji istnieje całka Riemanna, to jest ona równa całce Lebesgue’a tej funkcji. Istnieją jednak funkcje, dla których nie istnieje całka Riemanna, zaś istnieje całka Lebesgue'a. Może być też tak, że całka Lebesgue'a nie istnieje, ale istnieje całka niewłaściwa Riemanna.
Ważna własność całki Lebesgue’a, która nie jest zawsze słuszna w przypadku całki Riemanna, polega na tym, że liczenie całki z granicy punktowej ciągu funkcji można odwrócić, tj. zastąpić liczeniem granicy z całki funkcji ciągu. Ponadto, całka Riemanna jest związana z przestrzeniami euklidesowymi, zaś metoda Lebesgue’a umożliwia całkowanie funkcji określonych na dowolnych przestrzeniach z miarą, nie tylko euklidesowych.
Obecnie całka Lebesgue’a jest jednym z podstawowych narzędzi współczesnej matematyki i nauk ją wykorzystujących. Niżej naszkicowane podejście jest jednym z wielu możliwych.
Wprowadzenie thumb|Konstrukcja zbiorów funkcji nieujemnej; liczby leżą na wysokości czerwonych odcinków; zbiory i składają się z dwóch oddzielnych podzbiorów. Całka Riemanna jest związana z miarą Jordana, która jest tylko skończenie addytywną funkcją zbioru. Innymi słowy zakłada się, że miara sumy skończonej liczby zbiorów rozłącznych jest równa sumie miar poszczególnych zbiorów. Jednym z podstawowych kroków na drodze ku rozszerzeniu pojęcia całki Riemanna na funkcje typu funkcji Dirichleta było zastąpienie miary Jordana miarą Lebesgue’a, która jest już przeliczalnie addytywna, tzn. taka, że własność sumowania zachodzi także dla nieskończonej ilości zbiorów rozłącznych (zgodnie z tą obserwacją generalizacji uległo także ogólne pojęcie miary).
W definicja całki Riemanna mierzenie pola pod wykresem funkcji polega na sumowaniu pól prostokątów, których podstawy wyznacza się dzieląc dziedzinę funkcji na przedziały o małych rozmiarach; za wysokości tych prostokątów przyjmuje się wartości funkcji w dowolnie wybranych punktach, należących do poszczególnych przedziałów.
W definicji całki Lebesgue’a mierzenie pola pod wykresem funkcji polega na sumowaniu pól prostokątów, których wysokości wyznacza się dzieląc przeciwdziedzinę funkcji na przedziały o małych rozmiarach i oblicza się wielkości przedziałów dziedziny, w których funkcja przyjmuje wartości z poszczególnych przedziałów.
Przykład. Załóżmy, że funkcja ma wartości nieujemne zawarte w przedziale (por. rysunek). Aby znaleźć przybliżoną wartość pola powierzchni pod wykresem funkcji postępujemy następująco:
(1) Dzielimy przedział na rozłączne podprzedziały o końcach w punktach
(2) Znajdujemy zbiory zmiennej ( przeciwobrazy) odpowiadające przedziałom , tj.
gdzie jest funkcją odwrotną do funkcji .
Uwaga: a) W przypadku funkcji rosnącej , tj. przeciwobraz jest przedziałem o końcach . b) W przypadku funkcji malejącej , tj. przeciwobraz jest przedziałem o końcach . c) Dla funkcji niemonotonicznych przeciwobraz może składać się z wielu rozłącznych przedziałów (por. rysunek).
(3) Jako wysokości prostokątów wybieramy dowolne liczby należące do przedziału (na rysunku liczby te znajdują się na wysokości czerwonych odcinków).
(4) Każda z figur ma pole równe wielkości zbioru (tj. równe wielkości przedziału w przypadku funkcji monotonicznej lub równe sumie długości odpowiednich przedziałów dla funkcji niemonotonicznej) mnożonej przez wysokość Otrzymane w ten sposób figury są parami rozłączne; suma ich pól przybliża pole powierzchni pod wykresem funkcji tym lepszym, im drobniejszy jest podział zbioru wartości funkcji za pomocą liczb
Uwaga: Obliczenia pola pod wykresem funkcji realizuje się poprzez przybliżanie zadanej funkcji funkcjami prostymi, czyli takimi, które mają tylko skończenie wiele wartości przyjmowanych na mierzalnych podzbiorach dziedziny. W przypadku obliczania całek z wyrafinowanych funkcji, jak funkcja Dirichleta, wielkość przedziału określa się za pomocą odpowiednio zdefiniowanej miary.
Przykład numeryczny - funkcja monotoniczna Poniżej pokazano kod w języku Python, który oblicza całkę wg metody Lebesgue'a z funkcji potęgowej dla liczby rzeczywistej dla . Przeciwdziedzina jest dzielona na rozłącznych przedziałów wyznaczonych przez punkty takie że . Ponieważ funkcja ta jest rosnąca w przyjętej dziedzinie, to przeciwobrazy przedziałów są postaci ,
gdyż funkcją odwrotną do funkcji jest funkcja . Program oblicza dwie sumy, przybliżające całkę Lebesgue'a: sumę dolną suma_d, której prostokąty mają wysokości równe najmniejszej wartości funkcji na kolejnych podprzedziałach oraz sumę górną suma_g, której prostokąty mają wysokości równe największej wartości funkcji na kolejnych podprzedziałach .
Zwiększając liczbę podziałów przeciwdziedziny uzyskuje się coraz mniejszą różnicę między sumą dolną a sumą górną, co oznacza, że przybliżenie numeryczne całki Lebesgue'a jest coraz lepsze. Wartość całki Lebesgue'a jest wartością graniczną dla (w omawianym przykładzie dopiero w granicy obie sumy stają się równe sobie). # Całkujemy funkcję y = x**k dla 0<x<1 wg metody Lebesgue'a # k > 0 - dowolna liczba rzeczywista dodatnia # n - liczba podziałów przeciwdziedziny funkcji def lebesgue_x_k(n, k): # n - liczba podziałów osi Y (od 0 do 1) suma_d = 0 suma_g = 0 for i in range(n): y_i = i / n y_next = (i + 1) / n # Długość (miara) przedziału dziedziny= y_next**{1/k} - y_i**{1/k} miara = (y_next)**(1/k) - (y_i)**(1/k) suma_d += y_i * miara suma_g += y_next * miara return suma_d, suma_g
# Dane k = 2 n = 10000 print("n - liczba podziałów przeciwdziedziny, przybliżenia całki dolne i górne:") print(f"n={n}:{lebesgue_x_k(n,k):12.6f},{lebesgue_x_k(n,k):12.6f}")
Np. dla mamy funkcję kwadratową ; całka Riemanna daje wartość
Obliczenia tej całki wg metody Lebesgue'a dla dają wartości sumy dolną i górną równe odpowiednio oraz ; dla otrzymamy sumy dolną i górną równe odpowiednio oraz (po zaokrągleniu do 8 miejsc po przecinku). Widać, że im większa jest liczba n, tym dokładniejsze jest obliczenie. Widać też tu, że całka Lebesgue'a jest w tym wypadku równa całce Riemanna, co jest ogólną własnością (jeśli istnieją obie całki).
Oznaczenia
Dalej stosowana będzie następująca konwencja skracająca zapis: symbole
oznaczać będą odpowiednie relacje, tzn.
dla wszystkich elementów należących do ustalonego zbioru lub też całej dziedziny, jeśli nie zostanie zaznaczone inaczej. Podobnie będzie miała się rzecz z funkcjami ( minimum i maksimum) i im podobnymi.
Całkę Lebesgue’a wprowadza się zwykle wraz z miarą Lebesgue’a jako uogólnienie całki Riemanna w przestrzeniach euklidesowych. Jednak wybór miary zależy od zastosowań, sama zaś konstrukcja obowiązuje dla szerszej klasy przestrzeni. Z tego powodu wszędzie, gdzie będzie to można zrobić bez szkody dla jasności wywodu całka w przestrzeni z miarą będzie zapisywana w sposób uproszczony, z pominięciem symbolu tj.
Na podobnej zasadzie opuszczane będzie też wskazanie miary przy mierzalności zbiorów czy funkcji (zob. niżej).
Zbiory mierzalne. Funkcje mierzalne
Niech dana będzie przestrzeń z miarą
Def. Elementy σ-ciała określonego na przestrzeni z miarą nazywa się zbiorami -mierzalnymi względem
Uwaga: Miara jest określona na zbiorach należących do σ-ciała , a nie na wszystkich podzbiorach przestrzeni . Dzięki temu nie ma potrzeby przypisywania miary zbiorom, które nie są mierzalne, takim jak np. zbiór Vitalego.
Def. Funkcja jest -mierzalna, jeśli dla każdego przeciwobraz przedziału należy do σ-ciała , tj.
Wówczas także przeciwobrazy dowolnych zbiorów borelowskich należą do
Tw. Zbiór funkcji mierzalnych jest zamknięty ze względu na działania algebraiczne.
Np. Jeżeli funkcje są mierzalne, to mierzalne są także suma, różnica, iloczyn oraz iloraz tych funkcji, tj. oraz (w ostatnim przypadku: iloraz określony tam, gdzie ma to sens).
Tw. Mierzalne są funkcje:
oraz
nazywane odpowiednio częścią dodatnią oraz ujemną funkcji (moduł, części dodatnia i ujemna są funkcjami nieujemnymi).
Tw. Wprost z definicji wynika, że: oraz
Tw. Zbiór funkcji mierzalnych jest zamknięty ze względu na branie granic punktowych, tzn. jeżeli mierzalne są funkcje należące do ciągu to mierzalne są również funkcje
Definicja funkcji prostej
Def. Funkcję nazywa się prostą, jeżeli jej obraz jest zbiorem skończonym, zaś każda jej wartość przyjmowana jest na pewnym zbiorze mierzalnym tzn. dla Innymi słowy funkcję nazywa się prostą, jeżeli można przedstawić ją w postaci skończonej kombinacji liniowej funkcji charakterystycznych (indykatorów) zbiorów mierzalnych:
dla pewnych wartości oraz zbiorów
Definicja całki Lebesgue’a Definicja całki Lebesgue’a polega na stopniowym komplikowaniu klasy funkcji całkowalnych poczynając od najprostszych.
(1) Def. Całka Lebesgue’a z funkcji charakterystycznej Całka z funkcji charakterystycznej zbioru mierzalnego jest równa mierze Lebesgue'a tego zbioru, tj.
Całka ta może być równa jeżeli zbiór jest nieskończonej miary (np. gdy jest przedziałem otwartym zbioru liczb rzeczywistych).
(2) Def. Całka Lebesgue’a z funkcji prostej nieujemnej Jeżeli jest nieujemną funkcją prostą (kombinacją liniową) funkcji charakterystycznych, tj oraz ) , to całkę Lebesgue’a tej funkcji definiuje się jako sumę iloczynów miar Lebesgue'a poszczególnych zbiorów i liczb , tj.
(3) Def. Całka Lebesgue’a z funkcji prostej o zmiennym znaku Jeżeli jest funkcją prostą o zmiennym znaku, to całka Lebesgue'a z tej funkcji jest równa różnicy całek Lebesgue’a z części dodatniej i ujemnej pod warunkiem, że skończona jest przynajmniej jedna z odejmowanych tu całek, i wtedy mamy
Def. Funkcję nazywamy całkowalną, jeśli całka ta jest skończona (co zachodzi, jeżeli obie całki, tj. z części dodatniej i ujemnej, są skończone).
Def. Całka Lebesgue'a nie jest określona (nie istnieje), jeżeli obie całki są nieskończone (mamy tzw. symbol nieoznaczony).
(4) Def. Całka Lebesgue’a z funkcji mierzalnej nieujemnej Całkę Lebesgue’a nieujemnej funkcji mierzalnej określa się jako kres górny całek Lebesgue’a z nieujemnych funkcji prostych, które nie przekraczają , tj. jest nieujemną funkcją prostą taką, że
Całka ta może przyjmować wartości od do
(5) Def. Całka Lebesgue’a z funkcji mierzalnej o zmiennym znaku Całka Lebesgue’a z funkcji mierzalnej jest równa różnicy całek Lebesgue’a z części dodatniej i ujemnej, jeżeli skończona jest przynajmniej jedna z odejmowanych tu całek, i wtedy mamy
Def. Funkcję nazywamy całkowalną, jeśli całka ta jest skończona (co zachodzi, jeżeli obie całki, tj. z części dodatniej i ujemnej, są skończone).
Def. Całka Lebesgue'a nie jest określona (nie istnieje), jeżeli obie całki są nieskończone (mamy tzw. symbol nieoznaczony ).
(6) Def. Całka Lebesgue’a na dowolnym zbiorze mierzalnym Całkę z funkcji mierzalnej na zbiorze mierzalnym określa się jako całkę po całej przestrzeni z iloczynu funkcji z funkcją charakterystyczną zbioru (przy czym poza zbiorem funkcja przyjmuje wartość 0, natomiast na zbiorze pozostaje równa )
Twierdzenia Niech dana będzie przestrzeń z miarą Lebesgue'a oraz funkcje rzeczywiste