Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym: Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu w siebie ma punkt stały.

Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).

n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w zawierający punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych, np. dla kuli Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.

Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henriego Poincarégo w 1886 roku.

Twierdzenie Brouwera wynika z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym oraz jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia Schaudera o punkcie stałym.

Zastosowania Jeżeli jest kulą jednostkową w to jej powierzchnia (homeomorficzna ze sferą ) nie jest jej retraktem. Istotnie, gdyby istniała retrakcja to odwzorowanie takie, że nie miałoby punktów stałych wbrew twierdzeniu Brouwera. Jeśli to a więc Zaś gdy to bo . Żadna sfera nie jest ściągalna. Istotnie, każdy różny od 0 punkt kuli można jednoznacznie przedstawić w postaci dla pewnych oraz Gdyby istniała homotopia od identyczności do odwzorowania stałego, to przekształcenie byłoby retrakcją kuli na jej powierzchnię.

Zobacz też twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Uwagi

Przypisy H. Poincaré, Sur les courbes definies par les équations différentielles, „J. de Math.”, 2 (1886). L.E.J. Brouwer, Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich, „Math. Ann.”, 69 (1910), s. 176–180. P. Bohl, Ueber die Beweging eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage, „J. Reine Angew. Math.”, 127 (1904), s. 179–276.

Linki zewnętrzne

Brouwer theorem Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink Proving Brouwer’s Fixed Point Theorem, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 18 stycznia 2018 [dostęp 2024-08-29].

Kategoria:Twierdzenia o punkcie stałym Kategoria:Twierdzenia topologii