Macierz transponowana, macierz przestawiona macierzy – macierz która powstaje z danej macierzy (w ogólności prostokątnej, w szczególności jednowierszowej czy o jednej kolumnie) poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywa się transpozycją (przestawianiem).
Jeżeli macierz ma wyrazy (element macierzy znajdujący się na przecięciu -tego wiersza i -tej kolumny), a macierz transponowana ma wyrazy to zachodzi związek
Przykład (1) Transponować można macierz w ogólności prostokątną, np. gdy
to macierz transponowana ma postać:
(2) W szczególności wektor kolumnowy przechodzi w wektor wierszowy, np. gdy
to
Transpozycja macierzy symetrycznej Macierz symetryczna – macierz ta ma identyczne wyrazy leżące symetrycznie względem swojej przekątnej głównej, np.
Transpozycja macierzy symetrycznej jest równa tej macierzy, tj.
Własności operacji transponowania Twierdzenie 1. Niech wówczas: ,
Twierdzenie 2. Jeśli to:
Twierdzenie 3. Dla macierzy kwadratowej: Transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu macierzy, tj.
Zobacz też macierz hermitowska macierz symetryczna macierz unitarna sprzężenie hermitowskie macierzy
Przypisy
Bibliografia H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]: Transponowanie macierzy, 29 kwietnia 2021. Transpozycja iloczynu macierzy, 30 kwietnia 2021. Transpozycja sumy macierzy. Transpozycja macierzy odwrotnej, 12 maja 2021. Rząd macierzy transponowanej równa się rzędowi macierzy, 3 października 2021.
Kategoria:Działania na macierzach