Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.
Definicje Niech i będą funkcjami wielomianowymi:
Ich współczynniki mogą być prawie dowolnymi liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub należeć do innej struktury algebraicznej nazywanej ciałem. Jedynym ograniczeniem jest wymóg, że nie jest funkcją zerową: tzn. co najmniej jeden ze współczynników jest różny od zera. Wtedy funkcję
nazywa się funkcją wymiernąW wielu źródłach funkcję wymierną definiuje się ogólniej jako funkcję wielu zmiennych. Np. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, NT, Warszawa 2000.. Jej dziedziną jest dziedzina funkcji z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji
Jeśli stopień licznika jest niższy niż mianownika – czyli w tej notacji – to funkcję wymierną nazywa się właściwą.
Przykłady i zastosowania Funkcja jest wymierna. Wyrażenie nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna. Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną). Jeśli jest dowolnym wielomianem, a jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne. Funkcja jest wymierna. Jeżeli to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla jest to funkcja liniowa).
Pochodną funkcji arcus tangens jest funkcja wymierna, która może być użyta np. do przybliżania tej pierwszej. Rozkład Cauchy’ego w probabilistyce i statystyce, W optyce współczynnik załamania (gęstość optyczna) w ośrodkach dyspersyjnych jest często wymierną funkcją długości fali.
Własności Zbiór funkcji wymiernych z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Działania na funkcjach wymiernych wykonuje się podobnie do działań na zwykłych ułamkach. Dokładniej, jeśli jest pierścieniem całkowitym oraz jego pierścieniem wielomianów, to jest ciałem ułamków pierścienia Zbiór funkcji wymiernych jest K-algebrą. Złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną. Dowolna funkcja wymierna (nad ciałem liczb zespolonych) jest funkcją meromorficzną
Zobacz też
całkowanie funkcji wymiernych funkcja niewymierna
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Polskojęzyczne Funkcja wymierna, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-05-16]. Nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-08-28]: Szymon Charzyński, Przebieg zmienności funkcji wymiernej, 6 lipca 2013. Piotr Stachura, Asymptoty poziome i pionowe funkcji wymiernej, 5 lipca 2014. Szymon Charzyński, Analiza – całkowanie funkcji wymiernych, 18 lutego 2021.
Anglojęzyczne [dostęp 2024-03-07]. Rational function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].