Macierz nilpotentna – macierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej [dostęp 2026-08-23]..
Przykład Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz
bowiem kolejne potęgi tej macierzy są równe:
Własności Jeśli jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna taka, że nie przekracza stopnia Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej jest postaci stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru. Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru. Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną. każda wielokrotność macierzy nilpotentnej też jest nilpotentna. Każda potęga macierzy nilpotentnej też jest nilpotentna.
Postać Jordana Niech będzie macierzą kwadratową stopnia postaci:
tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.
W szczególności
Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:
dla pewnych
Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciałaW ogólnym przypadku, tj. dla dowolnych macierzy kwadratowych wymagane jest ciało algebraicznie domknięte..
Zobacz też macierz idempotentna mnożenie macierzy nilpotentność
Uwagi
Przypisy
N