mały|Wykres funkcji Mertensa dla argumentów od 1 do 10 000
Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana jako:
gdzie jest funkcją Möbiusa.
Dla każdej liczby naturalnej zachodzi zatem .
Przypuszczenie Mertensa Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, że dla każdego .
Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna. Okazuje się jednak, że przypuszczenie to jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między a . Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego poniższego wzoru: .
Gdyby funkcja Möbiusa została zastąpiona losowym ciągiem i to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.
Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem gdzie theta oznacza półpłaszczyznę
gdzie to argument funkcji dzeta Riemanna.
Wzory Związek pomiędzy funkcją dzeta Riemanna a funkcją Mertensa wynika ze wzoru
gdzie oznacza -ty ciąg Fareya. M(n) to wyznacznik -tej macierzy Redheffera, w której gdy lub dzieli a pozostałe wyrazy są zerowe.
Obliczanie wartości funkcji OsobaRokGranica obliczeńMertens1897104von Sterneck18971,5von Sterneck19015von Sterneck19125Neubauer1963108Cohen, Dress19797,8Dress19931012Lioen, van de Lune19941013Kotnik, van de Lune20031014Hurst20161016
Przypisy
Bibliografia Pintz J., An Effective Disproof of the Mertens Conjecture, „Astérique” 1987, s. 147–148, 325–333, 346. (fr)
Kategoria:Funkcje arytmetyczne Kategoria:Pierwiastki kwadratowe