Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków. Są też definiowane jako typy porządkowe dobrych porządków.
Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Zostały one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 roku (jako typy porządkowe dobrych porządków).
Definicja formalna Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.
Liczbą porządkową nazywa się każdy zbiór tranzytywny (przechodni), który jest liniowo uporządkowany przez relację tj. bycia podzbiorem. Dokładniej, zbiór jest liczbą porządkową, gdy: (i) każdy element jest podzbiorem tzn.
(ii) każde dwa różne elementy zbioru są porównywalne w relacji tzn.
Z aksjomatu regularności wynika, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez relację bycia podzbiorem. W pewnych sytuacjach jednak rozważa się teorię mnogości bez tego aksjomatu (np. ZFC0) i wówczas do definicji liczby porządkowej należy dodać postulat ufundowania: (iii) każdy niepusty podzbiór zbioru zawiera element -minimalny:
Dla liczb porządkowych i pisze się gdy
Własności i przykłady Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:
to zbiór wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych i zarazem najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa
Jeśli i są liczbami porządkowymi to: (a) lub lub (b) jeśli i to (c) wtedy i tylko wtedy, gdy (d) każdy element jest liczbą porządkową, (e) jest liczbą porządkową. Liczbę tę oznacza się symbolem
Jeśli jest zbiorem liczb porządkowych, to jest liczbą porządkową. Jeśli jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna taka liczba porządkowa że (silne) porządki i są izomorficzne. Jeśli jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje taki że lub dla wszystkich
Jeżeli liczba porządkowa jest postaci dla pewnej liczby to nazywana jest ona liczbą następnikową. Liczba, która nie jest następnikowa, nazywana jest liczbą graniczną. Liczby i są graniczne, a liczby i są następnikowe.
Paradoks Buralego-Fortiego orzeka, że nie istnieje zbiór zawierający wszystkie liczby porządkowe (sam wówczas musiałby być liczbą porządkową). W szczególności, nie istnieje największa liczba porządkowa oraz dla dowolnego zbioru istnieją liczby porządkowe do niego nie należące. Wnioskiem z tej obserwacji jest także fakt, że (por. twierdzenie Hartogsa) istnieją liczby porządkowe dowolnie dużej mocy (liczbie kardynalnej).
Liczby porządkowe jako przestrzenie topologiczne Każda liczba porządkowa jest przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą Hausdorffa z topologią porządkową.
Liczba porządkowa jako przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest następnikowa; w szczególności liczby i są zwarte.
Zobacz też
arytmetyka liczb porządkowych graniczna liczba porządkowa indukcja pozaskończona liczba kardynalna następnik liczby porządkowej
Przypisy
Bibliografia
.
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Polskojęzyczne Tomasz Miller, Liczby porządkowe, seria „Zacznijmy od zera”, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus” na YouTube, 21 grudnia 2021 [dostęp 2022-03-17] – wykład popularny. Adam Kolany, Zobaczyć omega_1, rocznik „Matematyka Poglądowa”, Ośrodek Kultury Matematycznej – Uniwersytet w Siedlcach (OKM UwS), 2017 [dostęp 2026-02-06].
Anglojęzyczne [dostęp 2024-03-07]. Ordinal number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].