mały|360px|Ilustracja twierdzenia Cauchy’ego o wartości średniej – krzywa płaska opisana parametrycznie, dwoma funkcjami różniczkowalnymi i . Sieczna tej krzywej, zaznaczona na czerwono, zawsze ma równoległą do niej styczną, zaznaczoną tu na zielono.
Twierdzenie Cauchy’ego, uogólnione twierdzenie o wartości średniej – twierdzenie w analizie matematycznej, konkretniej w analizie rzeczywistej i rachunku różniczkowym, zaliczane do twierdzeń o wartości średniej. Mówi, że jeśli dwie funkcje rzeczywiste na przedziale są różniczkowalne, to istnieje w tym przedziale punkt, dla którego pewne wyrażenia są równe.
Jest to uogólnienie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, a przez to – twierdzenia Rolle’a. Zastosowania twierdzenia Cauchy’ego to między innymi: oszacowanie błędu (reszty) we wzorze Taylora; dowód reguły de l’Hospitala.
Twierdzenie Jeżeli dane funkcje i są: ciągłe w przedziale domkniętym różniczkowalne w przedziale
to istnieje punkt należący do przedziału taki, że:
Dowód Zdefiniujmy
Zauważmy, że jest różniczkowalna na oraz więc na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje takie, że Ponadto
co kończy dowód.
Wniosek Jeżeli funkcje i są: ciągłe w przedziale domkniętym różniczkowalne w przedziale oraz dodatkowo dla
to istnieje taki punkt że:
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-06-20]. Cauchy theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].
Kategoria:Twierdzenia rachunku różniczkowego