Dowód nie wprost (dowód apagogiczny, dowód sokratejski, – sprowadzenie do sprzeczności, łac. contradictio in contrarium – zaprzeczenie przeciwieństwa, – sprowadzenie do niemożliwości) – forma dowodu logicznego, w którym z założenia o nieprawdziwości tezy wyprowadza się sprzeczność ze zdaniem prawdziwym (założenie nieprawdziwości twierdzenia prowadzi do sprzeczności), co pozwala przyjąć, że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, a sama teza prawdziwa.
Inaczej możemy powiedzieć: dowód nie wprost jest to sposób dowodzenia twierdzeń przez wykazanie pewnej sprzeczności pomiędzy zaprzeczeniem dowodzonej tezy (bądź pewnymi jej konsekwencjami logicznymi – por. implikacja logiczna) z pewnymi przyjętymi założeniami danej teorii matematycznej, bądź z pewnymi prawdami matematycznymi (powszechnie uznawanymi; bądź ściśle w ramach pewnej jedynie szczególnej teorii matematycznej).
Dowód nie wprost jest często łatwiejszy do przeprowadzenia niż dowód wprost (wyprowadzający pewną tezę z założeń); stosowany jest szczególnie wtedy, gdy mamy do czynienia z subtelnymi własnościami obiektów, o których mówi twierdzenie.
Dowód nie wprost był znany już Sokratesowi, który chętnie go stosował jako część metody sokratycznej.
Przykład Klasycznym przykładem dowodu nie wprost jest dowód Euklidesa istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych (dowód korzysta z podstawowego twierdzenia arytmetyki).
Dowód Euklidesa. Załóżmy na samym początku, że liczb pierwszych jest tylko skończenie wiele (powiedzmy, że liczbę liczb pierwszych oznaczamy roboczo przez – nie precyzując tym samym jakkolwiek, dla jakiego dowodzimy; a więc dla każdej wartości , dla której dalsza część dowodu jest poprawna metodycznie).
Dalej, oznaczmy wszystkie te liczb pierwszych, kolejno, symbolami: Rozważając teraz liczbę dochodzimy do wniosku, że: ma ona rozkład na liczby pierwsze, jak każda liczba naturalna oraz nie dzieli się przez żadną z liczb
Stąd musi istnieć jeszcze jakaś liczba pierwsza oprócz wymienionych – ale to jest sprzeczne z założeniem, że to wszystkie liczby pierwsze. Uzyskanie sprzeczności z przyjętym wcześniej założeniem pozwala więc wywnioskować, że było ono fałszywe – czyli liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. To kończy dowód. ∎
Zobacz też alibi dowód wprost heureza konstruktywizm prawo wyłączonego środka twierdzenie przeciwstawne
Przypisy
Linki zewnętrzne
Słownik Wyrazów Obcych: atopia i apagogiczny dowód
Kategoria:Metoda filozoficzna Kategoria:Dowody matematyczne