Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej

Definicja Niech będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni Niech i będą elementami przestrzeni a elementami przestrzeni przy czym Wyrażenia:

oznaczają odpowiednio odstęp punktu od zbioru i odstęp punktu od zbioru Z kolei wyrażenia:

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru od zbioru i odstęp zbioru od zbioru Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję określoną wzorem:

Uwagi Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów i Gdy to Gdy to Odstępy i mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy jest podzbiorem właściwym zbioru Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku -otoczeń. Dla danego zbioru i oznaczamy kulę o środku i promieniu oraz określamy

Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia: oraz

Odwzorowanie jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni w przestrzeń Ponadto zbiór jest domknięty w co oznacza, że ciąg zbiorów jednoelementowych może zbiegać co najwyżej do zbioru jednoelementowego.

Przestrzeń z wprowadzoną metryką Hausdorffa jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna. Topologia przestrzeni zależy od topologii przestrzeni a nie od samej metryki gdy metrykę zastąpić przez topologicznie równoważną ' (obie w ), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w ).

jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią zwartą.

Zbiór jest skończony jest gęsty w

Przykład W przestrzeni z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: oraz Odpowiednie odległości wynoszą:

Uogólnienia Metryka Hausdorffa może być definiowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni ale też od użytej w metryki

Z kolei dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Odległości