Elementem objętości rozmaitości M w punkcie nazywamy taki k-tensor antysymetryczny że dla każdej bazy przestrzeni zachodzi: gdzie jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach
Równoważna definicja Elementem objętości M w punkcie nazywamy o tej własności, że gdzie jest dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną przestrzeni stycznej (Przykładem takiej bazy jest baza standardowa przestrzeni ).
Problem Definicje te są równoważne, ale w pierwszej nie widać od razu, czy jest to w ogóle tensor, natomiast trzeba wykazać, że druga definicja nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej (jednoznaczność określenia). Definicje te wzajemnie uzupełniają swoje wady.
Zastosowanie Objętość rozmaitości M określa się jako o ile ta całka istnieje, co zachodzi z pewnością dla rozmaitości zwartej. „Objętość” zazwyczaj nazywa się długością lub polem powierzchni dla odpowiednio jedno- lub dwuwymiarowej rozmaitości, a dM standardowo oznacza się przez ds (element długości) lub przez dA (element pola powierzchni).
Bibliografia Lech Górniewicz, Roman Stanisław Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków II, wyd. drugie, Toruń 2000. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1977.
Kategoria:Rodzaje tensorów