Aksjomat zbioru potęgowego, AxP – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla.
W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postać:
Można go również sformalizować inaczej:
Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji .
Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru istnieje zbiór którego elementami są dokładnie te, które są podzbiorami zbioru Aksjomat ekstensjonalności zapewnia istnienie dokładnie jednego takiego zbioru. Zbiór nazywa się zbiorem potęgowym zbioru . Jest to więc zbiór wszystkich podzbiorów zbioru Oznacza się go
Zbiór ten można w sposób sformalizowany scharakteryzować następująco: .
Teoria mnogości bez aksjomatu zbioru potęgowego W matematyce rozważana jest niekiedy teoria ZF− (bądź ZFC−), tj. teoria mnogości, której aksjomatami są wszystkie aksjomaty ZF (ZFC) poza aksjomatem zbioru potęgowego. Andrzej Zarach wykazałAndrzej Zarach, Unions of ZF−-models which are themselves ZF−-models. w: Logic Colloquium ’80 (Prague, 1980), Vol. 108 of Stud. Logic Foundations Math. s. 315–342. North-Holland, Amsterdam, 1982., zakładając niesprzeczność ZFC, że istnieją modele ZF−, w których suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych może być nieprzeliczalna (dokładniej – modele, w których liczba jest singularna), a także takie modele ZF−, w których każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest przeliczalny, a mimo to liczba istnieje. V. Gitman, J.D. Hamkins oraz T.A. Johnstone wykazaliV. Gitman, J.D. Hamkins, T.A. Johnstone, What is the theory ZFC without power set?, „MLQ. Math. Log. Q.”, 62, iss. 4–5 (2016), s. 391−406., że analogiczne sytuacje mają miejsce w teorii ZFC−.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-03-07].
zbioru potęgowego