Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.
Definicja formalna Niech oraz będą dowolnymi pierścieniami.
Homomorfizmem pierścieni i nazywamy dowolne odwzorowanie takie, że – zachowane jest dodawanie, – zachowane jest mnożenie.
Jeżeli i są pierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się – element neutralny mnożenia w jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w W ten sposób eliminuje się przypadek zdegenerowany, w którym wszystkie elementy pierścienia przechodzą na zero pierścienia .
Własności tzn. element neutralny dodawania w jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w element przeciwny przechodzi w element przeciwny Wynika to z rozumowania:
Obraz Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór
czyli zbiór takich elementów które są wartościami odwzorowania na co najmniej jednym elemencie zbioru
Obraz homomorfizmu jest podpierścieniem pierścienia
Jądro Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór
gdzie oznacza zero pierścienia
Jądro homomorfizmu jest ideałem pierścienia
Morfizmy pierścieni Monomorfizm
Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.
Homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie oznacza zero pierścienia
Epimorfizm
Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm który jest funkcją typu „na”, tzn.
Izomorfizm
Homomorfizm nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie istnieje (ponieważ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.
Mówimy, że pierścienie i są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm (równoważnie: izomorfizm ) i oznaczamy W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności jest relacją równoważności.
Homomorfizm kanoniczny Niech będzie dowolnym pierścieniem, zaś dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie określone jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia na pierścień ilorazowy
Twierdzenie o homomorfizmie Jeśli jest epimorfizmem pierścieni to jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym (izomorfizmem jest odwzorowanie określone ) oraz gdzie jest homomorfizmem kanonicznym.
Zobacz też morfizm morfizmy grup automorfizm endomorfizm epimorfizm homomorfizm izomorfizm monomorfizm
Uwagi
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04].
Kategoria:Teoria pierścieni Kategoria:Morfizmy