Ciąg uogólniony – rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym. Ciąg uogólniony nazywa się też ciągiem Moore’a-Smitha (w skrócie MS-ciągiem), a w żargonie matematycznym ciąg uogólniony bywa nazywany netem (z angielskiego).
Definicja formalna Niech będzie niepustym zbiorem, a zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy dowolne odwzorowanie . Ciąg taki oznaczamy również lub . Wartość jest elementem zbioru przyporządkowanym elementowi
Punkty skupienia i granica Niech będzie przestrzenią topologiczną. Punkt nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego jeśli
gdzie oznacza otoczenie punktu
Punkt nazywamy granicą ciągu uogólnionego jeśli
gdzie tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu
Mówimy wtedy również, że jest zbieżny do
Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu oznaczamy albo
Subtelniejsze ciągi uogólnione Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.
Ciąg uogólniony nazywamy subtelniejszym od ciągu jeśli istnieje funkcja spełniająca warunki:
Własności Jeśli punkt jest punktem skupienia ciągu uogólnionego subtelniejszego od to jest punktem skupienia Jeśli punkt jest granicą ciągu uogólnionego to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego Jeśli punkt jest punktem skupienia ciągu uogólnionego to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego subtelniejszego od Ciągi uogólnione w przestrzeniach topologicznych Odwzorowanie przestrzeni topologicznych jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu uogólnionego . Punkt przestrzeni jest punktem skupienia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu uogólnionego , gdzie dla każdego . Punkt przestrzeni należy do domknięcia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg uogólniony zbieżny do taki, że dla każdego . Zbiór jest domknięty w przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym zbieżnym ciągiem uogólnionym zawiera jego granice.
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa Grigorij Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1999. S. Gładysz: Wstęp do topologii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1981.
Linki zewnętrzne Generalized sequence , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-13].
Kategoria:Porządki Kategoria:Ciągi