Rozkład beta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, której funkcja gęstości ma postać
gdzie: – parametry rozkładu, tzw. parametry kształtu, – funkcja beta, zależna od i normująca rozkład do 1, dana wzorem:
, – funkcja gamma.
Gdy rozkład beta przyjmuje postać rozkładu jednostajnego.
Właściwości
Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana (średnia) rozkładu beta zależy od stosunku parametrów i :
Dowód:
Dyskusja:
(1) Jeżeli to rozkład jest symetryczny; wtedy
(2) Jeżeli , to rozkład staje się prawostronnie skośny oraz
(3) Jeżeli , to rozkład staje się lewostronnie skośny oraz
Wariancja Wariancja rozkładu beta zależy od parametrów i :
Dyskusja:
(1) Jeżeli oba parametry są równe, , to
(2) Jeżeli to wariancja rozkładu dąży do maksymalnej możliwej wartości .
(3) Jeżeli , to rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej
(4) Jeżeli przy ustalonym (lub symetrycznie przy ustalonym ), to wariancja dąży do zera.
Dominanta Wartość, dla której gęstość prawdopodobieństwa osiąga ekstremum, jest określona wzorem: ,
Warunki i interpretacja:
(1) Unimodalność: Rozkład posiada unikalną dominantę (modę) wewnątrz przedziału wyłącznie wtedy, gdy zarówno , jak i .
(2) Minimum (Rozkład U-kształtny): Jeżeli oba parametry mieszczą się w przedziale , powyższy wzór wskazuje minimum gęstości, a rozkład przyjmuje kształt litery U.
(3) Kształt litery J: Gdy jeden parametr jest większy od 1, a drugi mniejszy, funkcja jest monotoniczna (ma kształt litery J), a ekstremum wypada na jednym z końców przedziału.
Momenty zwykłe Momenty zwykłe zmiennej losowej o rozkładzie beta wynoszą: , Bazując na właściwościach funkcji gamma, powyższą zależność można zapisać w bardziej zwartej formie:
Uwagi
Przypisy
Bibliografia (W tej pracy po raz pierwszy wprowadzono rozkład beta) Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
Kategoria:Rozkłady ciągłe