Macierze podobne – macierze kwadratowe stopnia nad ciałem spełniające równość dla pewnej macierzy nieosobliwejAndrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 88, Definicja 5.9..
Relację podobieństwa macierzy oznacza się symbolem Podobieństwo macierzy zapisuje się: .
Relacja podobieństwa macierzy jest relacją równoważnościAndrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 88, Lemat 5.16., ponieważ jest: zwrotna: ponieważ gdzie to macierz identycznościowa; symetryczna: przechodnia: Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 88, Lemat 5.16 – dowód..
Własności Macierz nazywa się podobną do macierzy jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa że Mówi się, że macierz powstaje z macierzy za pomocą przekształcenia zwanego podobieństwem. Przekształcenie to ma następujące własności:
W szczególności i ogólnie dla dowolnego wielomianu
Z ostatniej własności wynika, że macierze podobne mają jednakowe wielomiany charakterystyczne, ponieważ gdzie to macierz identycznościowa.
Wartości i wektory własne Macierze podobne i mają jednakowe wielomiany charakterystyczne i dlatego mają także jednakowe widma wartości własnych. Geometryczny sens tej zależności wynika z faktu, że macierze te reprezentują jedno i to samo przekształcenie odniesione do różnych baz. Dlatego wektory własne macierzy podobnych są kolumnami utworzonymi ze współrzędnych wektorów własnych danego przekształcenia w różnych bazach i wobec tego zachodzi między nimi związek
gdzie jest macierzą przekształcenia współrzędnych. Związek ten wynika z równań
Przypisy W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, PWN, Warszawa 1955.
Bibliografia W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1955. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999,
Kategoria:Macierze kwadratowe Kategoria:Dwuczłonowe relacje matematyczne