Wzory Cramera – twierdzenie określające postać rozwiązań oznaczonego układu równań liniowych. Sformułowane zostało przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera w 1750 roku.
Z twierdzenia tego można wyprowadzić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w algebrze liniowej oraz lemat Nakayamy będący ważnym wynikiem teorii pierścieni przemiennych. W programowaniu całkowitoliczbowym twierdzenie to można wykorzystać do dowiedzenia, iż zadanie tego rodzaju z macierzą całkowicie unimodularną i całkowitymi współczynnikami wektora wyrazów wolnych ma całkowitoliczbowe rozwiązania bazowe, co znacząco upraszcza rozwiązywanie takich zadań. Wzory Cramera wykorzystuje się do otrzymania rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania różniczkowego liniowego metodą uzmienniania stałych. W geometrii różniczkowej wykorzystuje się je (zwykle niejawnie), stosując twierdzenie o funkcji uwikłanej (zob. Pochodne funkcji uwikłanych).
Twierdzenie Niech dany będzie układ równań liniowych
gdzie oraz
Jeśli wyznacznik to układ jest oznaczony (ma jedno i tylko jedno rozwiązanie) dane wzorami:
W przeciwnym przypadku, gdy układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań), gdy choć jeden wyznacznik we wzorach Cramera zawierający jest różny od zera; nieoznaczony (ma więcej niż jedno rozwiązanie) lub sprzeczny, gdy wszystkie wyznaczniki we wzorach Cramera zawierające są równe zeru.
Dowód Lemat Układ jest oznaczony (tzn. ma dokładnie jedno rozwiązanie) wtedy i tylko wtedy, gdy ma on niezerowy wyznacznik.
Konieczność Dowód nie wprost. Jeśli to układ jest liniowo zależny, zatem istnieje niezerowy wektor dla którego
co oznacza, że
czyli wektor jest jeszcze jednym, różnym od rozwiązaniem danego układu.
Dostateczność Niezerowy wyznacznik, pociąga liniową niezależność układu który tworzy wtedy bazę przestrzeni współrzędnych (tzw. przestrzeni kolumnowej, czyli przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych); ponieważ jest wektorem tej przestrzeni, to ma on jednoznaczne przedstawienie
w tej bazie, zatem jest wówczas jedynym rozwiązaniem danego układu (wynika to wprost z twierdzenia o rzędzie).
Dowód Na mocy lematu: jeśli układ jest oznaczony, to istnieje dokładnie jeden wektor który spełniałby
zatem na mocy liniowości wyznacznika względem każdej współrzędnej zachodzi
zaś z jego alternacyjności (antysymetryczności) wynika, że
skąd jest
Pozostałe współrzędne wektora otrzymuje się analogicznie.
Przykłady Układy małych stopni Układ równań
zapisany w postaci macierzowej ma postać
Jego rozwiązania mają wtedy postać
oraz
Przypadek układu trzech równań z trzema niewiadomymi jest analogiczny: układ postaci
zapisuje się w postaci macierzowej jako
a jego rozwiązaniami są wtedy
Pochodne funkcji uwikłanych
Niech dane będą dwa równania oraz Jeśli oraz są zmiennymi niezależnymi, to bywa, że oraz dają się wyrazić jako oraz Wówczas wzory Cramera umożliwiają znalezienie równania opisującego
Mając na celu wyznaczenie wspomnianej pochodnej, należy w pierwszej kolejności obliczyć różniczki oraz za pomocą których zostanie ona wyrażona:
Podstawiając oraz do równań na oraz otrzymuje się:
Ponieważ i są niezależne, to współczynniki przy i muszą być zerami; oznacza to, że powyższe równania można zapisać jako równania na współczynniki:
oraz
Ze wzorów Cramera wynika teraz
czyli szukaną pochodną można wyrazić w postaci ilorazu dwóch jakobianów.
Podobne wzory można wyprowadzić dla
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Katarzyna Sawicz, Rozwiązywanie układów równań za pomocą wzorów Cramera, „Matematyka i Informatyka na Uczelniach Technicznych” (MINUT) – Politechnika Śląska, minut.polsl.pl, , 2023 [dostęp 2026-01-17]. Paweł Lubowiecki, Układy równań algebraicznych cz. II. Metoda Cramera, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09]. [dostęp 2026-01-17].
Kategoria:Twierdzenia o wyznacznikach Kategoria:Układy równań liniowych