k-przestrzeń – przestrzeń Hausdorffa, która jest obrazem przestrzeni lokalnie zwartej poprzez przekształcenie ilorazowe. Pojęcie k-przestrzeni, przypisywane Witoldowi Hurewiczowi, wprowadził w 1950 David Gale. Produkt k-przestrzeni na ogół nie jest k-przestrzenią – odpowiedni kontrprzykład podał Clifford Hugh Dowker.
Własności Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla domkniętości zbioru potrzeba i wystarcza, aby przecięcie z każdym zwartym podzbiorem było domknięte (lub równoważnie – zwarte). Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla otwartości zbioru potrzeba i wystarcza, aby przecięcie z każdym zwartym podzbiorem było otwarte. Każda ciągowa przestrzeń Hausdorffa, a więc w szczególności każda przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest k-przestrzenią. Podprzestrzenie domknięte oraz otwarte k-przestrzeni są k-przestrzeniami. Suma jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy jest k-przestrzenią dla każdego Iloczyn kartezjański k-przestrzeni i przestrzeni lokalnie zwartej jest k-przestrzenią.
k-rozszerzenia Niech będzie przestrzenią topologiczną. k-rozszerzeniem topologii nazywamy rodzinę podzbiorów zbioru takich, że dla każdego zbioru zwartego Rodzina jest również topologią w zbiorze Przestrzeń z topologią oznacza się symbolem i nazywa się k-rozszerzeniem przestrzeni W topologii, często wykorzystywane bywają następujące rezultaty dotyczące k-przestrzeni: topologia jest mocniejsza od wyjściowej topologii (zob. idempotentność), Twierdzenie D.E. Cohena: Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy D.E. Cohen, Spaces with weak topology, Quart. J. Math., Oxford Ser. (2) 5 (1954), s. 77–80..
k-ciągłość Niech będą przestrzeniami topologicznymi. Funkcję nazywamy k-ciągłą, gdy jest ciągła dla każdego zbioru zwartego Jeśli symbole i oznaczają rodziny przekształceń ciągłych i k-ciągłych między przestrzeniami i to jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej Pedro Morales, Non-Hausdorff Ascoli theory, Dissertationes Math. 119 (1974), s. 1–37..
Przykłady (z topologią dziedziczoną z prostej rzeczywistej) jest k-przestrzenią.
k3-przestrzenie Przestrzeń topologiczna nazywana jest k3-przestrzenią, gdy dla każdej przestrzeni regularnej Wprost z definicji wynika, że każda k-przestrzeń jest k3-przestrzenią. Przeciwna implikacja jest jednak fałszywa. Produkt nieprzeliczalnie wielu kopii prostej rzeczywistej (która nie jest k-przestrzenią) jest k3-przestrzenią.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Compactly generated space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych