Twierdzenie Jordana-Dehna – twierdzenie mówiące, że łamana zamknięta rozcina płaszczyznę na dwa obszary i jest ich wspólnym brzegiem. Szczególny przypadek twierdzenia o krzywej Jordana.
Dowód mały|300px|Nieregularna łamana zamknięta i punkty o różnych indeksach względem niej
Niech będzie łamaną zamkniętą na płaszczyźnie euklidesowej a niech będzie prostą o kierunku różnym od kierunków prostych zawierających boki łamanych. Prosta oraz jedna z prostych do niej prostopadłych wyznaczają układ współrzędnych kartezjańskich, w których prosta jest osią odciętych. Przy takim wyborze osi odciętych każda prosta do niej równoległa może przeciąć dowolny bok łamanej w co najwyżej jednym punkcieNa podstawie książek Couranta, Robbinsa, op. cit., s. 345–348 i Mioduszewskiego, op. cit., s. 28–29..
Indeksem punktu względem łamanej jest funkcja
która przyjmuje wartość: 0 jeśli półprosta przechodząca przez punkt przecina łamaną w parzystej liczbie punktów, 1 jeśli półprosta przechodząca przez punkt przecina łamaną w nieparzystej liczbie punktów.
Przy tym nie są liczone przecięcia w tych wierzchołkach, w których oba boki łamanej wychodzące z wierzchołka znajdują się po jednej stronie prostej.
Na rysunku punkty i mają względem pomarańczowej krzywej indeks 0, a pozostałe mają indeks 1.
Indeks ma dwie własności: Przyjmuje obie wartości. Jest funkcją lokalnie stałą, czyli jeśli przyjmuje wartość w pewnym punkcie, to przyjmuje ją w pewnym jego otoczeniu.
Dowód własności 1. Przede wszystkim trzeba udowodnić, że istnieje półprosta równoległa do osi odciętych, która przecina łamaną w co najmniej dwóch punktach. Łamana ma skończoną liczbę wierzchołków: Gdyby taka półprosta nie istniała, to niech będzie taką permutacją indeksów że Wierzchołek jest połączony bokami łamanej z dwoma wierzchołkami gdzie Niech
Wtedy półprosta
przecina bok łamanej o końcach w punkcie
Nie przecina natomiast odcinka o końcach bo
Z aksjomatu Pascha zastosowanego do trójkąta o wierzchołkach wynika, że półprosta ta przecina drugi bok łamanej o wierzchołkach Znaleźliśmy półprostą przecinającą łamaną w dwóch punktach.
Niech będzie półprostą o początku w punkcie równoległą do osi odciętych, przecinającą łamaną w co najmniej dwóch punktach Ponieważ łamana ma skończoną liczbę boków, więc półprosta ma co najwyżej punktów przecięcia z łamaną i można założyć, że punkty są punktami kolejnymi. Jeśli leży między punktami i liczba punktów przecięcia półprostej jest o 1 większa od punktów przecięcia półprostej czyli co kończy dowód własności 1.
Dowód własności 2. Ponieważ łamana jako suma odcinków domkniętych (wraz z końcami) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc jest podzbiorem zwartym płaszczyzny i dlatego dla każdego punktu istnieje taki prostokąt że: thumb|350px|Półprosta odpowiadająca punktowi ' ma o 4 punkty przecięcia więcej niż półprosta odpowiadająca punktowi Ich indeksy są takie same.
zbiór zawiera tylko te wierzchołki łamanej, które leżą na prostej
Wtedy dla każdego punktu
bo liczba punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt różni się o co najwyżej parzystą liczbę od liczby punktów przecięcia łamanej przez półprostą wyznaczoną przez punkt
Z obu tych własności wynika, że dopełnienie łamanej jest sumą dwóch zbiorów otwartych W dowolnym otoczeniu każdego punktu łamanej można znaleźć punkty obu tych zbiorów. Dlatego łamana ta jest ich wspólnym brzegiem.
Wniosek Każda łamana zamknięta jest brzegiem pewnej figury ograniczonej. Nazywamy ją wielokątem.
Przypisy
Bibliografia
Jordana-Dehna