thumb|300x300px|Doświadczenie Lissajous z kamertonami
Krzywa Lissajous, wym. [lisaʒu], figury Lissajous bądź Bowditcha – krzywa parametryczna wykreślona przez punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.
Dana jest równaniem parametrycznym:
Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1799, oraz Jules’a Antoine’a Lissajous, który badał je używając do tego drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami.
Rodzaje Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg: (zob. pi i radian),
oraz odcinek:
Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy jest liczbą wymierną.
Występowanie Jedną z metod uzyskiwania krzywych Lissajous jest podanie na wejścia oscyloskopu, pracującego w trybie dwóch sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach pozostających w stosunku Ciekawy efekt uzyskuje się również, gdy stosunek tych częstotliwości jest minimalnie różny od ilorazu dwóch niskich liczb naturalnych: dzięki płynnej zmianie fazy (parametru ) uzyskuje się iluzję trójwymiarowego obrotu krzywej. W najprostszym przypadku, gdy uzyskuje się efekt „obracającej się monety”.
Inną metodą jest wykorzystanie wahadła o specjalnej konstrukcji. Wahadło takie posiada dwie różne efektywne długości (w prostopadłych do siebie płaszczyznach), więc generuje drgania złożone.
Krzywe Lissajous są także czasem wykorzystywane w projektach graficznych jako element logo (np. w Australian Broadcasting Corporation).
Przykłady Poniżej zamieszczono przykłady krzywychЛ.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теореитической механики, Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954 Lissajous o parametrach – nieparzyste, – parzyste,
Program do rysowania krzywych Lissajous Pokazany niżej kod w Python kreśli krzywe Lissajous o parametrach: - częstotliwości drgań odpowiednio w poziomie i pionie, – różnica faz. Długość krzywej zależy od zadanego zakresu parametru (tu ustalono ); im dłuższa krzywa, tym trzeba zadać więcej wartości , aby wykres krzywej był gładki.
Do uruchomienia programu potrzebne są biblioteki numpy i matplotlib, które udostępniają online np. czy .import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
# dane t = np.linspace(-2, 20, 10000) # parametr t[-2,20]; 10000 punktów a = 9 b = 8.9 d = np.pi/2 print("Różnica faz =", d,"[rad]")
x = np.sin(a*t) y = np.sin(b*t+d)
# wykresy plt.plot(y, x, label=f"a={a}, b={b}") plt.title(f"Krzywe Lissajous a={a}, b={b}", fontsize=24) plt.xlabel("x", fontsize=20) plt.ylabel("y", fontsize=20) plt.grid()
plt.show() Zobacz też
długość krzywej lista krzywych
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Lissajous Curves , MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].
Kategoria:Krzywe płaskie