Algebra wolna – uogólnienie pojęcia pierścienia wielomianów na nieprzemienne struktury algebraiczne.
Definicja Niech będzie klasą algebr ogólnych tego samego typu oraz niech Podzbiór nazywamy zbiorem wolnych generatorów algebry w klasie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przekształcenia istnieje dokładnie jeden taki homomorfizm że
Jeśli dla danej algebry istnieje jej zbiór wolnych generatorów w klasie to nazywamy ją algebrą wolną w klasie
Innymi słowy, zbiór wolnych generatorów algebry, to taki jej podzbiór, że każde jego przekształcenie w inną algebrę tego samego typu da się jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu na całą algebrę.
Własności Jeśli jest klasą algebr, a jest zbiorem wolnych generatorów algebry w klasie to generuje algebrę tzn. jest najmniejszą w sensie inkluzji algebrą zawierającą zbiór Jeśli jest klasą algebr, zbiorami wolnych generatorów algebr w klasie to każde przekształcenie można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu Homomorfizm jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją. Jeśli są algebrami wolnymi w oraz ich zbiory wolnych generatorów są równoliczne, to algebry te są izomorficzne.
Przykłady Przykładem algebry wolnej jest grupa wolna. Każda podgrupa grupy wolnej jest grupą wolną. Baza przestrzeni liniowej jest zbiorem wolnych generatorów (twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie) – innymi słowy, przestrzenie liniowe są modułami wolnymi nad ciałami.
Bibliografia
Linki zewnętrzne Free algebra , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Algebry nad ciałem Kategoria:Teoria kategorii