Twierdzenie Bézouta – twierdzenie algebry opisujące dowolny wielomian jednej zmiennej. Mówi, że: jeśli liczba jest miejscem zerowym wielomianu czyli to wielomian jest podzielny przez dwumian ; w ogólności: wartość wielomianu obliczona dla dowolnego argumentu jest równa reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian
Przykłady (1) Wielomian
nie jest podzielny przez , gdyż ; de facto w dzieleniu tego wielomianu przez otrzymuje się trójmian i resztę .
(2) Wielomian
jest podzielny przez , gdyż .
Twierdzenie Bézouta - ogólne sformułowanie Niech będzie pierścieniem przemiennym z jedynką.
Tw. Element jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian że Ponadto stopień wielomianu jest o jeden niższy niż stopień wielomianu, tj. .
Dowód Niech wielomian ma postać
Różnica dwóch k-tych potęg dana jest znanym wzorem:
Niech oznacza większy czynnik z prawej strony powyższej równości. Wtedy
(ponieważ ). Wtedy
Ponieważ jest wielomianem stopnia n-1 (gdyż np. jest wielomianem stopnia n-1), to otrzymujemy tezę twierdzenia, cnd.
Równość Bézouta Wartość wielomianu w punkcie jest równa reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian co wynika z ostatniej równości dowodu. Równość tę nazywa się równością Bézouta.
Zobacz też schemat Hornera
Przypisy
Linki zewnętrzne Algebra – twierdzenie Bézouta, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27]. Bezout theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Bézouta