thumb|Ilustracja wektora Wektor – obiekt matematyczny opisywany za pomocą wielkości: modułu (nazywanego też – zdaniem niektórych niepoprawnie – długością lub wartością), kierunku wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku); istotny przede wszystkim w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce.
Wiele działań algebraicznych na liczbach rzeczywistych ma swoje odpowiedniki dla wektorów: mogą być one dodawane, odejmowane, mnożone przez liczbę i odwracanie. Operacje te spełniają znane prawa algebraiczne: przemienności, łączności, rozdzielności (odejmowanie traktowane jest jako szczególny przypadek dodawania). Suma dwóch wektorów o tym samym początku może być znaleziona geometrycznie za pomocą reguły równoległoboku. Mnożenie przez liczbę, w tym kontekście nazywaną zwykle skalarem, zmienia moduł wektora, tzn. rozciąga go lub ściska zachowując jego kierunek oraz jeżeli liczba jest dodatnia zachowuje zwrot, a gdy ujemna zmienia zwrot wektora.
Współrzędne kartezjańskie są spójnym środkiem opisu wektorów i operacji na nich. Wektor staje się ciągiem liczb rzeczywistych nazywanymi składowymi skalarnymi. Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar są wykonywane składowa po składowej (zob. przestrzeń współrzędnych).
Wektory odgrywają ważną rolę w fizyce: prędkość oraz przyspieszenie poruszającego się obiektu oraz siła działająca na ciało mogą być opisane za pomocą wektorów. Wiele innych wielkości fizycznych może być rozpatrywanych jako wektory. Matematyczna reprezentacja wektora fizycznego zależy od układu współrzędnych wykorzystanego do jego opisu. Inne obiekty podobne wektorom, które opisują wielkości fizyczne i ulegają przekształceniom w podobny sposób wraz ze zmianą układu współrzędnych to pseudowektory i tensory.
Ogólne thumb|Wektor z A do B
Wielkościami charakteryzującymi wektory są: moduł (w matematyce liczba nieujemna, a w fizyce liczba nieujemna pomnożona przez jednostkę) oraz kierunek wraz ze zwrotem. Graficznie przedstawia się je często jako odcinek o wyróżnionym kierunku, zwykle jako strzałkę, której długość symbolizuje moduł, kierunek odpowiada kierunkowi prostej zawierającej odcinek i zwrot, który wskazuje grot strzałki.
W przestrzeni euklidesowej wektory można rozumieć dwojako: jako dowolne odcinki (kierunek i moduł) z wyróżnioną kolejnością punktów końcowych (zwrot), takie wektory nazywa się wektorami zaczepionymi; jako sam kierunek wraz ze zwrotem oraz modułem, przy czym punkt początkowy (zaczepienia) nie jest istotny, wtedy mówi się o wektorach swobodnych.
Każdy wektor zaczepiony można przekształcić w wektor swobodny, „zapominając” o jego początku, a każdy wektor swobodny w zaczepiony, wskazując konkretny punkt zaczepienia wektora (kierunek, zwrot i moduł wyznaczają wtedy punkt końcowy).
Wektor o początku (punkcie zaczepienia) w i końcu (punkcie końcowym) w oznacza się zwykle symbolem lub podobnymi. Wówczas długość odcinka opisuje moduł, a kierunek (ze zwrotem) wskazuje przesunięcie względem czyli miarę tego, jak bardzo powinno się przesunąć punkt aby „przenieść” (zgodnie z etymologią) go do punktu
Tak więc dwa wektory zaczepione oraz dają ten sam wektor swobodny, jeżeli maja ten sam moduł oraz kierunek i zwrot, równoważnie: są one uważane za tożsame, jeżeli czworokąt jest równoległobokiem. Jeśli przestrzeń euklidesowa ma wyróżniony początek, to wektor swobodny jest równoważny wektorowi zaczepionemu o tej samej wartości i kierunku (oraz zwrocie), jeżeli jego punkt zaczepienia jest początkiem przestrzeni.
Jeżeli obiekty tego rodzaju należy wyróżnić spośród innych rodzajów wektorów, to nazywane są one niekiedy wektorami geometrycznymi, przestrzennymi lub euklidesowymi. Pojęcie wektora uogólnia się na większą liczbę wymiarów i w bardziej abstrakcyjnych podejściach, które mają o wiele szersze zastosowania.
Przykłady jednowymiarowe Siła określona jako „15 N w prawo” ma współrzędną 15 N, o ile wektor bazowy skierowany jest w prawo oraz −15 N, jeżeli wektor bazowy skierowany jest w lewo. Moduł wektora wynosi w obu przypadkach 15 N. Przemieszczenie określone jako „4 m w prawo” ma współrzędną 4 m, jeśli wektor bazowy skierowany jest w prawo i −4 m, gdy wektor bazowy skierowany jest w lewo. W obu przypadkach długość wektora wynosi 4 m. Praca wykonana przez siłę przy tym przemieszczeniu wynosi w obu przypadkach 60 J.
Fizyka i inżynieria Wektory są podstawowymi pojęciami w naukach fizycznych. Mogą być wykorzystane do reprezentowania dowolnej wielkości mającej kierunek, takiej jak prędkość, której modułem jest szybkość. Przykładowo prędkość 5 metrów na sekundę w górę może być przedstawiona jako wektor (w przestrzeni dwuwymiarowej, gdzie oś y skierowana jest w „górę”). Inną wielkością reprezentowaną przez wektor jest siła, ponieważ ma moduł i kierunek (ze zwrotem). Wektory mogą również opisywać wiele innych wielkości fizycznych takich jak przemieszczenie, przyspieszenie, pęd oraz kręt. Inne wektory fizyczne, takie jak pole elektryczne, czy magnetyczne, są reprezentowane przez układ wektorów skojarzonych z każdym punktem przestrzeni fizycznej, to jest pole wektorowe.
Przestrzeń kartezjańska
W układzie współrzędnych kartezjańskich wektor może być przedstawiony poprzez wskazanie współrzędnych punktów początkowego i końcowego. Przykładowo, punkty oraz w przestrzeni określają wektor zaczepiony wskazujący z punktu na osi x do punktu na osi y.
Zwykle we współrzędnych kartezjańskich rozważa się wektory swobodne. Jest on zwykle określany przez współrzędne punktu końcowego odpowiadającego mu wektora zaczepionego, którego punkt początkowy jest początkiem układu Na przykład wektor swobodny reprezentowany przez jest wektorem długości jednostkowej wskazującym w kierunku dodatnim osi x.
Reprezentacja wektorów za pomocą współrzędnych umożliwia wyrażenie cech algebraicznych wektorów w dogodny liczbowy sposób. Przykładowo sumą wektorów oraz jest wektor
Wektory euklidesowe i afiniczne W geometrii i fizyce można czasami w naturalny sposób przypisać do wektora długość (moduł) oraz kierunek. Okazuje się, że pojęcie kierunku jest ściśle związane z pojęciem kąta między dwoma wektorami. Jeżeli określona jest długość wektorów, to można również określić iloczyn skalarny – iloczyn dwóch wektorów o wartości skalarnej – który daje wygodną charakteryzację algebraiczną tak długości (pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie), jak i kąta (funkcja iloczynu skalarnego między dowolnymi dwoma wektorami). W trzech wymiarach można określić dodatkowo iloczyn wektorowy, który dostarcza algebraicznej charakteryzacji pola i orientacji w przestrzeni równoległoboku wyznaczonego za pomocą dwóch wektorów (będących jego bokami).
Nie zawsze jest jednak możliwe lub pożądane określenie długości wektora w naturalny sposób. Jest tak nawet w przypadku najprostszych uogólnień wektorów przestrzennych, tj. elementów abstrakcyjnych rzeczywistych przestrzeni liniowych/wektorowych (które uogólniają pojęcie wektorów swobodnych) i przestrzeni afinicznych (stanowiących uogólnienie wektorów zaczepionych). Odpowiednikiem długości wektora w przypadku przestrzeni wektorowych może być dowolna norma (lub pseudonorma, jak w przypadku przestrzeni Minkowskiego) określona na tej przestrzeni.
Uogólnienia W fizyce, jak i matematyce, wektor jest często utożsamiany z krotką, czyli listą liczb, która uzależniona jest od pewnego pomocniczego układu współrzędnych lub układu odniesienia (ang. reference frame). Jeżeli współrzędne są przekształcane, np. poprzez obrót lub rozciąganie, to składowe wektora również ulegają przekształceniu. Sam wektor nie zmienia się, lecz zmienia się jego układ odniesienia, tak więc jego składowe (czyli miary wzięte względem danego układu odniesienia) również muszą się zmienić, aby odzwierciedlić wspomnianą zmianę. Wektor nazywany jest kowariantym bądź kontrawariantnym w zależności od wzajemnego wpływu na siebie przekształcenia składowych wektora oraz przekształcenia współrzędnych. Zobacz kowariancja i kontrawariancja wektorów. Tensory są kolejnym rodzajem wielkości zachowującym się w ten sposób; w rzeczywistości wektor jest szczególnym przypadkiem tensora.
W czystej matematyce wektor to dowolny element przestrzeni wektorowej (liniowej) nad pewnym ciałem, który często przedstawiany jest jako wektor współrzędnych. Wektory opisane w tym artykule są szczególnym przypadkiem tej definicji, ponieważ są kontrawariantne względem otaczającej przestrzeni. Pojęcie kontrawariancji ujmuje intuicję fizyczną stojącą za ideą wektora mającego „moduł i kierunek”.
Reprezentacje mały|Strzałka wektora wskazująca z A do B thumb|Z lewej: wektor wskazujący za diagram, od widza. Z prawej: wektor wskazujący przed diagram, w kierunku widza. Można utożsamić odpowiednio z lotkami strzały i jej grotem. thumb|Wektor na płaszczyźnie kartezjańskiej przedstawiający położenie punktu A o współrzędnych (2, 3). mały
Wektory oznaczane są zwykle pogrubioną małą literą, np. czasami dodatkowo pochyloną, np. (dużymi literami oznacza się często macierze). Inne konwencje obejmują przypadki lub szczególnie przy piśmie odręcznym. Niekiedy korzysta się z tyldy (~) lub falistego podkreślenia pod symbolem, które są konwencją oznaczania pogrubienia. Jeżeli wektor reprezentuje skierowaną odległość lub przemieszczenie z punktu do (zob. rysunek), to oznacza się go czasami jako lub Z symbolu daszka (^) korzysta się zwykle do oznaczenia wersorów (wektorów jednostkowych, czyli wektorów o długości jednostkowej), np.
Wektory przedstawia się zwykle na wykresach czy diagramach jako strzałki (skierowane odcinki), jak pokazano na rysunku. Tutaj punkt nazywany jest początkiem, ogonem, podstawą, punktem zaczepienia lub punktem początkowym; punkt nazywa się głową, końcem, punktem końcowym. Długość strzałki jest proporcjonalna do wielkości wektora, a kierunek wskazywany przez strzałkę określa kierunek (i zwrot) wektora.
Niekiedy konieczne jest zaznaczenie wektora prostopadłego do płaszczyzny dwuwymiarowego diagramu. Wektory te przedstawia się za pomocą małych okręgów. Okrąg z kropką w środku (Unicode U+2299 ⊙) oznacza wektor wskazujący przed diagram, w kierunku widza. Kółko z wpisanym w niego krzyżykiem (Unicode U+2297 ⊗) oznacza wektor wskazujący za diagram, w kierunku od widza. O symbolach tych można myśleć jak o oglądaniu ostrza grotu strzały od przodu oraz oglądaniu lotki strzały od tyłu.
Reprezentacja wektorowa bywa nieporęczna przy prowadzeniu obliczeń za pomocą wektorów. Wektory w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej mogą być przedstawione w układzie współrzędnych kartezjańskich. Punkt końcowy może być utożsamiony z uporządkowaną listą liczb rzeczywistych (n-tką). Przykładowo w dwóch wymiarach (zob. rysunek) wektor z początku do punktu zapisuje się zwykle jako
Domyślnie przyjmuje się, że punkt zaczepienia wektora pokrywa się w tym wypadku z początkiem, dlatego też wyraźne zaznaczenie punktu zaczepienia w uważa się za zbędne i rzadko się z niego korzysta.
W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (lub ) wektory utożsamiane są z trójkami liczb odpowiadającym współrzędnym kartezjańskim punktu końcowego
Liczby te układa się często w wektor kolumnowy lub wektor wierszowy, w szczególności jeżeli rozpatruje się dodatkowo macierze, np.:
Innym sposobem zapisu wektora trójwymiarowego jest wprowadzenie trzech wektorów bazy standardowej:
Mają one intuicyjną interpretację wektorów długości jednostkowej wskazujących odpowiednio w kierunku rosnącym osi x, y oraz z układu współrzędnych kartezjańskich, czasami określa się je jako wersory tych osi. Za ich pomocą można przedstawić dowolny wektor z w postaci:
Niekiedy w nauczaniu początkowym fizyki te trzy szczególne wektory są oznaczane jako (bądź ), ale taki zapis koliduje z konwencją sumacyjną wykorzystywaną w wyższych matematyce i fizyce oraz inżynierii.