Lemat Zassenhausa (także: lemat motyla) – techniczny wynik teorii grup dotyczący kraty podgrup danej grupy, w uogólnieniach również kraty podmodułów ustalonego modułu lub, ogólnie, dowolnej kraty modularnejZob. Pierce, s. 27, ćw. 1.. „Motyla” można dojrzeć na diagramie Hassego grup biorących udział w twierdzeniu.
Hans Julius Zassenhaus udowodnił lemat, mając na celu podanie czytelniejszej postaci dowodu twierdzenia Schreiera; można go też uzyskać z ogólniejszego wyniku znanego jako twierdzenie Goursata dla rozmaitości Goursata (których przykładem są grupy), wykorzystując prawo modularności Dedekinda. Twierdzenie zachodzi w szczególności również dla grup z operatorami: w sformułowaniu wystarczy zamienić podgrupy normalne na podgrupy stabilne.
Lemat thumb|300px|Diagram Hassego do lematu Zassenhausa obrazujący określenie „lemat motyla” (niestandardowo większe podgrupy znajdują się na dole diagramu, a mniejsze – na górze). Niech będzie grupą, a oraz jej podgrupami; ponadto niech oraz będą podgrupami normalnymi, wówczas
i ma miejsce izomorfizm
Dowód Niech Ponieważ toLemat 1. Niech oraz Wówczas oraz Dowód. Drugie twierdzenie o izomorfizmie mówi, że jeśli jest grupą, a oraz to oraz jest izomorficzna z Stosując to twierdzenie dla zastąpionych odpowiednio otrzymuje się oraz Skoro a to zachodzi teza. czyli podobnie dla jest Jako że oraz zapisując dla zwięzłości to zachodzi (jako iloczyn prosty, zob. iloczyn kompleksowy).
Ponieważ oraz toLemat 2. Niech oraz Wówczas oraz Dowód. Ponieważ to wiadomo, że oraz Zatem Należy dowieść, że jest normalna w Zauważając, że (zob. normalizator), otrzymuje się dla wszystkich (zob. sprzężenie i podgrupa normalna). Wtedy, dla dowolnych jest ponieważ oraz Zatem dla wszystkich oraz Z drugiego twierdzenia o izomorfizmie z odpowiednio w miejscach otrzymuje się oraz Ponieważ oraz to izomorfizm ten oznacza, że
Teraz oraz (ponieważ ), a więc z (1) wynika
Powtarzając to samo rozumowanie dla zastąpionymi odpowiednio uzyskuje się
Teza wynika z połączenia (2) oraz (3).
Zobacz też lemat Goursata prawo modularności Dedekinda twierdzenie Schreiera
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04].
Kategoria:Teoria modułów Kategoria:Teoria krat Zassenhausa, Lemat Kategoria:Podgrupy Z